考研數學 - 話題

　概率論與數理統計初步主要考查考生對研究隨機現象規律性的基本概念、基本理論和基本方法的理解，以及運用概率統計方法分析和解決實際問題的能力。

　　隨機事件和概率考查的主要內容有：

　�。�1）事件之間的關系與運算，以及利用它們進行概率計算；

　�。�2）概率的定義及性質，利用概率的性質計算一些事件的概率；

　�。�3）古典概型與幾何概型；

　　（4）利用加法公式、條件概率公式、乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式計算概率；

　�。�5）事件獨立性的概念，利用獨立性計算事件的概率；

　�。�6）獨立重復試驗，伯努利概型及有關事件概率的計算。

　　要求考生理解基本概念，會分析事件的結構，正確運用公式，掌握一些技巧，熟練地計算概率。

　　隨機變量及概率分布考查的主要內容有：

　�。�1）利用分布函數、概率分布或概率密度的定義和性質進行計算；

　　（2）掌握一些重要的隨機變量的分布及性質，主要的有：（0-1）分布、二項分布、泊松分布、幾何分布、超幾何分布、均勻分布、指數分布和正態分布，會進行有關事件概率的計算；

　�。�3）會求隨機變量的函數的分布。

　�。�4）求兩個隨機變量的簡單函數的分布，特別是兩個獨立隨機變量的和的分布。

　　要求考生熟練掌握有關分布函數、邊緣分布和條件分布的計算，掌握有關判斷獨立性的方法并進行有關的計算，會求兩個隨機變量函數的分布。

　　隨機變量的數字特征考查的主要內容有：

　�。�1）數學期望、方差的定義、性質和計算；

　�。�2）常用隨機變量的數學期望和方差；

　�。�3）計算一些隨機變量函數的數學期望和方差；

　�。�4）協方差、相關系數和矩的定義、性質和計算；

　　要求考生熟練掌握數學期望、方差的定義、性質和計算，掌握由給出的試驗確定隨機變量的分布，再計算有關的數字的特征的方法，會計算協方差、相關系數和矩，掌握判斷兩個隨機變量不相關的方法。

　　大數定律和中心限定理考查的主要內容有：

　�。�1）切比雪夫不等式；

　　（2）大數定律；

　　（3）中心極限定理。

　　要求考生會用切比雪夫不等式證明有關不等式，會利用中心極限理進行有關事件概率的近似計算。

　　數理統計的基本概念考查的主要內容有：

　�。�1）樣本均值、樣本方差和樣本矩的概念、性質及計算；

　　（2）χ2分布、t分布和F分布的定義、性質及分位數；

　　（3）推導某些統計量的（特別是正態總體的某些統計量）的分布及計算有關的概率。

　　要求考生熟練掌握樣本均值、樣本方差的性質和計算，會根據χ2分布、t分布和F分布的定義和性質推導有關正態總體某些統計的計量的分布。

　　參數估計考查的主要內容有：

　�。�1）求參數的矩估計、極大似然估計；

　�。�2）判斷估計量的無偏性、有效性、一致性；

　�。�3）求正態總體參數的置信區間。

　　要求考生熟練地求得參數的矩估計、極大似然估計并判斷無偏性，會求正態總體參數的置信區間。

　　假設檢驗考查的顯著的主要內容有：

　�。�1）正態總體參數的顯著性檢驗；

　�。�2）總體分布假設的χ2檢驗。

　　要求考生會進行正態總體參數的顯著性檢驗和總體分布假設的χ2檢驗。

　　常有的題型有：填空題、選擇題、計算題和證明題，試題的主要類型有：

　　（1）確定事件間的關系，進行事件的運算；

　�。�2）利用事件的關系進行概率計算；

　　（3）利用概率的性質證明概率等式或計算概率；

　�。�4）有關古典概型、幾何概型的概率計算；

　　（5）利用加法公式、條件概率公式、乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式計算概率；

　�。�6）有關事件獨立性的證明和計算概率；

　　（7）有關獨重復試驗及伯努利概率型的計算；

　　（8）利用隨機變量的分布函數、概率分布和概率密度的定義、性質確定其中的未知常數或計算概率；

　�。�9）由給定的試驗求隨機變量的分布；

　　（10）利用常見的概率分布（例如（0-1）分布、二項分布、泊松分布、幾何分布、均勻分布、指數分布、正態分布等）計算概率；

　�。�11）求隨機變量函數的分布（12）確定二維隨機變量的分布；

　�。�13）利用二維均勻分布和正態分布計算概率；

　　（14）求二維隨機變量的邊緣分布、條件分布；

　�。�15）判斷隨機變量的獨立性和計算概率；

　　（16）求兩個獨立隨機變量函數的分布；

　�。�17）利用隨機變量的數學期望、方差的定義、性質、公式，或利用常見隨機變量的數學期望、方差求隨機變量的數學期望、方差；

　�。�18）求隨機變量函數的數學期望；

　　（19）求兩個隨機變量的協方差、相關系數并判斷相關性；

　�。�20）求隨機變量的矩和協方差矩陣；

　　（21）利用切比雪夫不等式推證概率不等式；

　　（22）利用中心極限定理進行概率的近似計算；

　�。�23）利用t分布、χ2分布、F分布的定義、性質推證統計量的分布、性質；

　�。�24）推證某些統計量（特別是正態總體統計量）的分布；

　�。�25）計算統計量的概率；

　�。�26）求總體分布中未知參數的矩估計量和極大似然估計量；

　�。�27）判斷估計量的無偏性、有效性和一致性；

　�。�28）求單個或兩個正態總體參數的置信區間；

　�。�29）對單個或兩個正態總體參數假設進行顯著性檢驗；

　�。�30）利用χ2檢驗法對總體分布假設進行檢驗。

　　這一部分主要考查概率論與數理統計的基本概念、基本性質和基本理論，考查基本方法的應用。對歷年的考題進行分析，可以看出概率論與數理統計的試題，即使是填空題和選擇題，只考單一知識點的試題很少，大多數試題是考查考生的理解能力和綜合應用能力。要求考生能靈活地運用所學的知識，建立起正確的概率模型，綜合運用極限、連續函數、導數、極值、積分、廣義積分以及級數等知識去解決問題。

　　在解答這部分考題時，考生易犯的錯誤有：

　�。�1）概念不清，弄不清事件之間的關系和事件的結構；

　　（2）對試驗分析錯誤，概率模型搞錯；

　　（3）計算概率的公式運用不當；

　　（4）不能熟練地運用獨立性去證明和計算；

　�。�5）不能熟練掌握和運用常用的概率分布及其數字特征；

　　（6）不能正確應用有關的定義、公式和性質進行綜合分析、運算和證明。

　　綜合歷年考生的答題情況，得知概率論與數理統計試題的得分率在0.3左右，區分度一般在0.40以上。這表明試題既有一定的難度，又有較高的區分度。

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