考研數學 - 話題

　考研復習現在已經進入整理沖刺階段，這段時間大家應把復習過的知識系統化綜合化，注意搞細搞透搞活，也可適當做幾套模擬題，這既可查漏補缺也可兼代積累一點臨場經驗。本文現針對線性代數課程的特點，提如下建議供考生參考。

　　一、注重對基本概念的理解與把握，正確熟練運用基本方法及基本運算。

　　線性代數的概念很多，重要的有：

　　代數余子式，伴隨矩陣，逆矩陣，初等變換與初等矩陣，正交變換與正交矩陣，秩（矩陣、向量組、二次型），等價（矩陣、向量組），線性組合與線性表出，線性相關與線性無關，極大線性無關組，基礎解系與通解，解的結構與解空間，特征值與特征向量，相似與相似對角化，二次型的標準形與規范形，正定，合同變換與合同矩陣。

　　往年常有考生沒有準確把握住概念的內涵，也沒有注意相關概念之間的區別與聯系，導致做題時出現錯誤。例如，矩陣A＝（α1，α2，……，αm）與B＝（β1，β2……，βm）等價，意味著經過初等變換可由A得到B，要做到這一點，關鍵是看秩r（A）與r（B）是否相等，而向量組α1，α2，……αm與β1，β2，……βm等價，說明這兩個向量組可以互相線性表出，因而它們有相同的秩，但是向量組有相同的秩時，并不能保證它們必能互相線性表現，也就得不出向量組等價的信息，因此，由向量組α1，α2，……αm與β1，β2，……βm等價，可知矩陣A＝（α1，α2，……αm）與B＝（β1，β2，……βm）等價，但矩陣A與B等價并不能保證這兩個向量組等價。

　　又如，實對稱矩陣A與B合同，即存在可逆矩陣C使CTAC＝B，要實現這一點，關鍵是二次型xTAx與xTBx的正、負慣性指數是否相同，而A與B相似是指有可逆矩陣P使P－1AP＝B成立，進而知A與B有相同的特征值，如果特征值相同可知正、負慣性指數相同，但正負慣性指數相同時，并不能保證特征值相同，因此，實對稱矩陣A～B?A?B，即相似是合同的充分條件。

　　線性代數中運算法則多，應整理清楚不要混淆，基本運算與基本方法要過關，重要的有：

　　行列式（數字型、字母型）的計算，求逆矩陣，求矩陣的秩，求方陣的冪，求向量組的秩與極大線性無關組，線性相關的判定或求參數，求基礎解系，求非齊次線性方程組的通解，求特征值與特征向量（定義法，特征多項式基礎解系法），判斷與求相似對角矩陣，用正交變換化實對稱矩陣為對角矩陣（亦即用正交變換化二次型為標準形）。

　　二、注重知識點的銜接與轉換，知識要成網，努力提高綜合分析能力。

　　線性代數從內容上看縱橫交錯，前后聯系緊密，環環相扣，相互滲透，因此解題方法靈活多變，復習時應當常問自己做得對不對？再問做得好不好？只有不斷地歸納總結，努力搞清內在聯系，使所學知識融會貫通，接口與切入點多了，熟悉了，思路自然就開闊了。

　　例如：設A是m×n矩陣，B是n×s矩陣，且AB＝0，那么用分塊矩陣可知B的列向量都是齊次方程組Ax＝0的解，再根據基礎解系的理論以及矩陣的秩與向量組秩的關系，可以有r（B）≤n－r（A）即r（A）＋r（B）≤n，進而可求矩陣A或B中的一些參數。

　　再如，若A是n階矩陣可以相似對角化，那么，用分塊矩陣處理P－1AP＝∧可知A有n個線性無關的特征向量，P就是由A的線性無關的特征向量所構成，再由特征向量與基礎解系間的聯系可知此時若λi是ni重特征值，則齊次方程組（λiE－A）x＝0的基礎解系由ni個解向量組成，進而可知秩r（λiE－A）＝n－ni，那么，如果A不能相似對角化，則A的特征值必有重根且有特征值λi使秩r（λiE－A）＜n－ni，若A是實對稱矩陣，則因A必能相似對角化而知對每個特征值λi必有r（λiE－A）＝n－ni，此時還可以利用正交性通過正交矩陣來實現相似對角化。

　　又比如，對于n階行列式我們知道：若｜A｜＝0，則Ax＝0必有非零解，而Ax＝b沒有惟一解（可能有無窮多解，也可能無解），而當｜A｜≠0時，可用克萊姆法則求Ax＝b的惟一解；可用｜A｜證明矩陣A是否可逆，并在可逆時通過伴隨矩陣來求A－1；對于n個n維向量α1，α2，……αn可以利用行列式｜A｜＝｜α1α2……αn｜是否為零來判斷向量組的線性相關性；矩陣A的秩r（A）是用A中非零子式的最高階數來定義的，若r（A）＜r，則A中r階子式全為0；求矩陣A的特征值，可以通過計算行列式｜λE－A｜，若λ＝λ0是A的特征值，則行列式｜λ0E－A｜＝0；判斷二次型xTAx的正定性，可以用順序主子式全大于零。

　　凡此種種，正是因為線性代數各知識點之間有著千絲萬縷的聯系，代數題的綜合性與靈活性就較大，同學們整理時要注重串聯、銜接與轉換。

　　三、注重邏輯性與敘述表述

　　線性代數對于抽象性與邏輯性有較高的要求，通過證明題可以了解考生對數學主要原理、定理的理解與掌握程度，考查考生的抽象思維能力、邏輯推理能力。大家復習整理時，應當搞清公式、定理成立的條件，不能張冠李戴，同時還應注意語言的敘述表達應準確、簡明。

　　線性代數中常見的證明題型有：

　　證｜A｜＝0；證向量組α1，α2，……αt的線性相關性，亦可引伸為證α1，α2……，αt是齊次方程組Ax＝0的基礎解系；證秩的等式或不等式；證明矩陣的某種性質，如對稱，可逆，正交，正定，可對角化，零矩陣等；證齊次方程組是否有非零解；線性方程組是否有解（亦即β能否由α1，α2……，αs線性表出）；對給出的兩個方程組論證其同解性或有無公共解；證二次型的正定性，規范形等。

　　總之，數學題目千變萬化，有各種延伸或變式，同學們要在考試中取得好成績，一定要認真仔細地復習，華而不實靠押題碰運氣是行不通的，必須要重視三基，多思多議，不斷地總結經驗與教訓，做到融會貫通。

數字30和50哪個大？

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