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高等數學難點總結及課后習題解讀
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發表于 2010-10-21 09:36
樓主
上冊：
函數（高等數學的主要研究對象） 極限：數列的極限（特殊）——函數的極限（一般） 極限的本質是通過已知某一個量（自變量）的變化趨勢，去研究和探索另外一個量（因變量）的變化趨勢 由極限可以推得的一些性質：局部有界性、局部保號性……應當注意到，由極限所得到的性質通常都是只在局部范圍內成立 在提出極限概念的時候并未涉及到函數在該點的具體情況，所以函數在某點的極限與函數在該點的取值并無必然聯系 連續：函數在某點的極限 等于 函數在該點的取值 連續的本質：自變量無限接近，因變量無限接近 導數的概念 本質是函數增量與自變量增量的比值在自變量增量趨近于零時的極限，更簡單的說法是變化率 微分的概念：函數增量的線性主要部分，這個說法有兩層意思，一、微分是一個線性近似，二、這個線性近似帶來的誤差是足夠小的，實際上任何函數的增量我們都可以線性關系去近似它，但是當誤差不夠小時，近似的程度就不夠好，這時就不能說該函數可微分了 不定積分：導數的逆運算 什么樣的函數有不定積分 定積分：由具體例子引出，本質是先分割、再綜合，其中分割的作用是把不規則的整體劃作規則的許多個小的部分，然后再綜合，最后求極限，當極限存在時，近似成為精確 什么樣的函數有定積分 求不定積分（定積分）的若干典型方法：換元、分部，分部積分中考慮放到積分號后面的部分，不同類型的函數有不同的優先級別，按反對冪三指的順序來記憶 定積分的幾何應用和物理應用 高等數學里最重要的數學思想方法：微元法 微分和導數的應用：判斷函數的單調性和凹凸性 微分中值定理，可從幾何意義去加深理解 泰勒定理：本質是用多項式來逼近連續函數。要學好這部分內容，需要考慮兩個問題：一、這些多項式的系數如何求？二、即使求出了這些多項式的系數，如何去評估這個多項式逼近連續函數的精確程度，即還需要求出誤差（余項），當余項隨著項數的增多趨向于零時，這種近似的精確度就是足夠好的 |
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發表于 2010-10-21 09:36
沙發
下冊（一）： 多元函數的微積分：將上冊的一元函數微積分的概念拓展到多元函數 最典型的是二元函數 極限：二元函數與一元函數要注意的區別，二元函數中兩點無限接近的方式有無限多種（一元函數只能沿直線接近），所以二元函數存在的要求更高，即自變量無論以任何方式接近于一定點，函數值都要有確定的變化趨勢 連續：二元函數和一元函數一樣，同樣是考慮在某點的極限和在某點的函數值是否相等 導數：上冊中已經說過，導數反映的是函數在某點處的變化率（變化情況），在二元函數中，一點處函數的變化情況與從該點出發所選擇的方向有關，有可能沿不同方向會有不同的變化率，這樣引出方向導數的概念 沿坐標軸方向的導數若存在，稱之為偏導數 通過研究發現，方向導數與偏導數存在一定關系，可用偏導數和所選定的方向來表示，即二元函數的兩個偏導數已經足夠表示清楚該函數在一點沿任意方向的變化情況 高階偏導數若連續，則求導次序可交換 微分：微分是函數增量的線性主要部分，這一本質對一元函數或多元函數來說都一樣。只不過若是二元函數，所選取的線性近似部分應該是兩個方向自變量增量的線性組合，然后再考慮誤差是否是自變量增量的高階無窮小，若是，則微分存在 僅僅有偏導數存在，不能推出用線性關系近似表示函數增量后帶來的誤差足夠小，即偏導數存在不一定有微分存在 若偏導數存在，且連續，則微分一定存在 極限、連續、偏導數和可微的關系在多元函數情形里比一元函數更為復雜 極值：若函數在一點取極值，且在該點導數（偏導數）存在，則此導數（偏導數）必為零 所以，函數在某點的極值情況，即函數在該點附近的函數增量的符號，由二階微分的符號判斷。對一元函數來說，二階微分的符號就是二階導數的符號，對二元函數來說，二階微分的符號可由相應的二次型的正定或負定性判斷。 級數斂散性的判別思路：首先看通項是否趨于零，若不趨于零則發散。若通項趨于零，看是否正項級數。若是正項級數，首先看能否利用比較判別法，注意等比級數和調和級數是常用來作比較的級數，若通項是連乘形式，考慮用比值判別法，若通項是乘方形式，考慮用根值判別法。若不是正項級數，取絕對值，考慮其是否絕對收斂，絕對收斂則必收斂。若絕對值不收斂，考察一般項，看是否交錯級數，用萊布尼茲準則判斷。若不是交錯級數，只能通過最根本的方法判斷，即看其前n項和是否有極限，具體問題具體分析。 比較判別法是充分必要條件，比值和根值法只是充分條件，不是必要條件。 函數項級數情況復雜，一般只研究冪級數。阿貝爾定理揭示了冪級數的重要性質：收斂區域存在一個收斂半徑。所以對冪級數，關鍵在于求出收斂半徑，而這可利用根值判別法解決。 逐項求導和逐項積分不改變冪級數除端點外的區域的斂散性，端點情況復雜，需具體分析。 一個函數能展開成冪級數的條件是：存在任意階導數。展開后的冪級數能收斂于原來函數的條件是：余項（誤差）要隨著項數的增加趨于零。這與泰勒展開中的結論一致。 微分方程：不同種類的方程有不同的常見解法，但理解上并無難處。 下冊（二） 定積分、二重積分、三重積分、第一類曲線積分、第一類曲面積分都可以概率為一種類型的積分，從物理意義上來理解是某個空間區域（直線段、平面區域、立體區域、曲線段、曲面區域）的質量，其中被積元可看作區域的微小單元，被積函數則是該微小單元的密度 這些積分最終都是轉化成定積分來計算 第二類曲線積分的物理意義是變力做功（或速度環量），第二類曲面積分的物理意義是流量 在研究上述七類積分的過程中，發現其實被積函數都是空間位置點的函數，于是把這種以空間位置作為自變量的函數稱為場函數 場函數有標量場和向量場，一個向量場相當于三個標量場 場函數在一點的變化情況由方向導數給出，而方向導數最大的方向，稱為梯度方向。梯度是一個向量，任何方向的方向導數，都是梯度在這個方向上的投影，所以梯度的模是方向導數的最大值 梯度方向是函數變化最快的方向，等位面方向是函數無變化的方向，這兩者垂直 梯度實際上一個場函數不均勻性的量度 梯度運算把一個標量場變成向量場 一條空間曲線在某點的切向量，便是該點處的曲線微元向量，有三個分量，它建立了第一類曲線積分與第二類曲線積分的聯系 一張空間曲面在某點的法向量，便是該點處的曲面微元向量，有三個分量，它建立了第一類曲面積分和第二類曲面積分的聯系 物體在一點處的相對體積變化率由該點處的速度場決定，其值為速度場的散度 散度運算把向量場變成標量場 散度為零的場稱為無源場 高斯定理的物理意義：對散度在空間區域進行體積分，結果應該是這個空間區域的體積變化率，同時這種體積變化也可看成是在邊界上的流量造成的，故兩者應該相等。即高斯定理把一個速度場在邊界上的積分與速度場的散度在該邊界所圍的閉區域上的體積分聯系起來 無源場的體積變化為零，這是容易理解的，相當于既無損失又無補充 物體在一點處的旋轉情況由該點處的速度場決定，其值為速度場的旋度 旋度運算把向量場變成向量場 旋度為零的場稱為無旋場 斯托克斯定理的物理意義：對旋度在空間曲面進行第二類曲面積分，結果應該表示的是這個曲面的旋轉快慢程度，同時這種旋轉也可看成是邊界上的速度環量造成的，故兩者應該相等。即斯托克斯定理把一個速度場在邊界上形成的環量與該邊界所圍的曲面的第二類曲面積分聯系起來。該解釋是從速度環量的角度出發得到的，比高斯定理要難，不強求掌握。 無旋場的速度環量為零，這相當于一個區域沒有旋轉效應，這是容易理解的 格林定理是斯托克斯定理的平面情形 進一步考察無旋場的性質 旋度為零，相當于對旋度作的第二類曲面積分為零——即等號后邊的第二類曲線積分為零，相當于該力場圍繞一閉合空間曲線作做的功為零——即從該閉合曲線上任選一點出發，積分與路徑無關——相當于所得到的曲線積分結果只于終點的選擇有關，與路徑無關，可看成終點的函數，這是一個場函數（空間位置的函數），稱為勢函數——所得的勢函數的梯度正好就是原來的力場——因為力場函數是連續的，所以勢函數有全微分 簡單的概括起來就是：無旋場——積分與路徑無關——梯度場——有勢場——全微分 要注意以上這些說法之間的等價性 三定理（Gauss Stokes Green）的向量形式和分量形式都要熟悉 |
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發表于 2010-10-21 09:36
3樓
下冊（一）： 多元函數的微積分：將上冊的一元函數微積分的概念拓展到多元函數 最典型的是二元函數 極限：二元函數與一元函數要注意的區別，二元函數中兩點無限接近的方式有無限多種（一元函數只能沿直線接近），所以二元函數存在的要求更高，即自變量無論以任何方式接近于一定點，函數值都要有確定的變化趨勢 連續：二元函數和一元函數一樣，同樣是考慮在某點的極限和在某點的函數值是否相等 導數：上冊中已經說過，導數反映的是函數在某點處的變化率（變化情況），在二元函數中，一點處函數的變化情況與從該點出發所選擇的方向有關，有可能沿不同方向會有不同的變化率，這樣引出方向導數的概念 沿坐標軸方向的導數若存在，稱之為偏導數 通過研究發現，方向導數與偏導數存在一定關系，可用偏導數和所選定的方向來表示，即二元函數的兩個偏導數已經足夠表示清楚該函數在一點沿任意方向的變化情況 高階偏導數若連續，則求導次序可交換 微分：微分是函數增量的線性主要部分，這一本質對一元函數或多元函數來說都一樣。只不過若是二元函數，所選取的線性近似部分應該是兩個方向自變量增量的線性組合，然后再考慮誤差是否是自變量增量的高階無窮小，若是，則微分存在 僅僅有偏導數存在，不能推出用線性關系近似表示函數增量后帶來的誤差足夠小，即偏導數存在不一定有微分存在 若偏導數存在，且連續，則微分一定存在 極限、連續、偏導數和可微的關系在多元函數情形里比一元函數更為復雜 極值：若函數在一點取極值，且在該點導數（偏導數）存在，則此導數（偏導數）必為零 所以，函數在某點的極值情況，即函數在該點附近的函數增量的符號，由二階微分的符號判斷。對一元函數來說，二階微分的符號就是二階導數的符號，對二元函數來說，二階微分的符號可由相應的二次型的正定或負定性判斷。 級數斂散性的判別思路：首先看通項是否趨于零，若不趨于零則發散。若通項趨于零，看是否正項級數。若是正項級數，首先看能否利用比較判別法，注意等比級數和調和級數是常用來作比較的級數，若通項是連乘形式，考慮用比值判別法，若通項是乘方形式，考慮用根值判別法。若不是正項級數，取絕對值，考慮其是否絕對收斂，絕對收斂則必收斂。若絕對值不收斂，考察一般項，看是否交錯級數，用萊布尼茲準則判斷。若不是交錯級數，只能通過最根本的方法判斷，即看其前n項和是否有極限，具體問題具體分析。 比較判別法是充分必要條件，比值和根值法只是充分條件，不是必要條件。 函數項級數情況復雜，一般只研究冪級數。阿貝爾定理揭示了冪級數的重要性質：收斂區域存在一個收斂半徑。所以對冪級數，關鍵在于求出收斂半徑，而這可利用根值判別法解決。 逐項求導和逐項積分不改變冪級數除端點外的區域的斂散性，端點情況復雜，需具體分析。 一個函數能展開成冪級數的條件是：存在任意階導數。展開后的冪級數能收斂于原來函數的條件是：余項（誤差）要隨著項數的增加趨于零。這與泰勒展開中的結論一致。 微分方程：不同種類的方程有不同的常見解法，但理解上并無難處。 下冊（二） 定積分、二重積分、三重積分、第一類曲線積分、第一類曲面積分都可以概率為一種類型的積分，從物理意義上來理解是某個空間區域（直線段、平面區域、立體區域、曲線段、曲面區域）的質量，其中被積元可看作區域的微小單元，被積函數則是該微小單元的密度 這些積分最終都是轉化成定積分來計算 第二類曲線積分的物理意義是變力做功（或速度環量），第二類曲面積分的物理意義是流量 在研究上述七類積分的過程中，發現其實被積函數都是空間位置點的函數，于是把這種以空間位置作為自變量的函數稱為場函數 場函數有標量場和向量場，一個向量場相當于三個標量場 場函數在一點的變化情況由方向導數給出，而方向導數最大的方向，稱為梯度方向。梯度是一個向量，任何方向的方向導數，都是梯度在這個方向上的投影，所以梯度的模是方向導數的最大值 梯度方向是函數變化最快的方向，等位面方向是函數無變化的方向，這兩者垂直 梯度實際上一個場函數不均勻性的量度 梯度運算把一個標量場變成向量場 一條空間曲線在某點的切向量，便是該點處的曲線微元向量，有三個分量，它建立了第一類曲線積分與第二類曲線積分的聯系 一張空間曲面在某點的法向量，便是該點處的曲面微元向量，有三個分量，它建立了第一類曲面積分和第二類曲面積分的聯系 物體在一點處的相對體積變化率由該點處的速度場決定，其值為速度場的散度 散度運算把向量場變成標量場 散度為零的場稱為無源場 高斯定理的物理意義：對散度在空間區域進行體積分，結果應該是這個空間區域的體積變化率，同時這種體積變化也可看成是在邊界上的流量造成的，故兩者應該相等。即高斯定理把一個速度場在邊界上的積分與速度場的散度在該邊界所圍的閉區域上的體積分聯系起來 無源場的體積變化為零，這是容易理解的，相當于既無損失又無補充 物體在一點處的旋轉情況由該點處的速度場決定，其值為速度場的旋度 旋度運算把向量場變成向量場 旋度為零的場稱為無旋場 斯托克斯定理的物理意義：對旋度在空間曲面進行第二類曲面積分，結果應該表示的是這個曲面的旋轉快慢程度，同時這種旋轉也可看成是邊界上的速度環量造成的，故兩者應該相等。即斯托克斯定理把一個速度場在邊界上形成的環量與該邊界所圍的曲面的第二類曲面積分聯系起來。該解釋是從速度環量的角度出發得到的，比高斯定理要難，不強求掌握。 無旋場的速度環量為零，這相當于一個區域沒有旋轉效應，這是容易理解的 格林定理是斯托克斯定理的平面情形 進一步考察無旋場的性質 旋度為零，相當于對旋度作的第二類曲面積分為零——即等號后邊的第二類曲線積分為零，相當于該力場圍繞一閉合空間曲線作做的功為零——即從該閉合曲線上任選一點出發，積分與路徑無關——相當于所得到的曲線積分結果只于終點的選擇有關，與路徑無關，可看成終點的函數，這是一個場函數（空間位置的函數），稱為勢函數——所得的勢函數的梯度正好就是原來的力場——因為力場函數是連續的，所以勢函數有全微分 簡單的概括起來就是：無旋場——積分與路徑無關——梯度場——有勢場——全微分 要注意以上這些說法之間的等價性 三定理（Gauss Stokes Green）的向量形式和分量形式都要熟悉 |
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發表于 2010-10-21 09:36
4樓
下冊（一）： 多元函數的微積分：將上冊的一元函數微積分的概念拓展到多元函數 最典型的是二元函數 極限：二元函數與一元函數要注意的區別，二元函數中兩點無限接近的方式有無限多種（一元函數只能沿直線接近），所以二元函數存在的要求更高，即自變量無論以任何方式接近于一定點，函數值都要有確定的變化趨勢 連續：二元函數和一元函數一樣，同樣是考慮在某點的極限和在某點的函數值是否相等 導數：上冊中已經說過，導數反映的是函數在某點處的變化率（變化情況），在二元函數中，一點處函數的變化情況與從該點出發所選擇的方向有關，有可能沿不同方向會有不同的變化率，這樣引出方向導數的概念 沿坐標軸方向的導數若存在，稱之為偏導數 通過研究發現，方向導數與偏導數存在一定關系，可用偏導數和所選定的方向來表示，即二元函數的兩個偏導數已經足夠表示清楚該函數在一點沿任意方向的變化情況 高階偏導數若連續，則求導次序可交換 微分：微分是函數增量的線性主要部分，這一本質對一元函數或多元函數來說都一樣。只不過若是二元函數，所選取的線性近似部分應該是兩個方向自變量增量的線性組合，然后再考慮誤差是否是自變量增量的高階無窮小，若是，則微分存在 僅僅有偏導數存在，不能推出用線性關系近似表示函數增量后帶來的誤差足夠小，即偏導數存在不一定有微分存在 若偏導數存在，且連續，則微分一定存在 極限、連續、偏導數和可微的關系在多元函數情形里比一元函數更為復雜 極值：若函數在一點取極值，且在該點導數（偏導數）存在，則此導數（偏導數）必為零 所以，函數在某點的極值情況，即函數在該點附近的函數增量的符號，由二階微分的符號判斷。對一元函數來說，二階微分的符號就是二階導數的符號，對二元函數來說，二階微分的符號可由相應的二次型的正定或負定性判斷。 級數斂散性的判別思路：首先看通項是否趨于零，若不趨于零則發散。若通項趨于零，看是否正項級數。若是正項級數，首先看能否利用比較判別法，注意等比級數和調和級數是常用來作比較的級數，若通項是連乘形式，考慮用比值判別法，若通項是乘方形式，考慮用根值判別法。若不是正項級數，取絕對值，考慮其是否絕對收斂，絕對收斂則必收斂。若絕對值不收斂，考察一般項，看是否交錯級數，用萊布尼茲準則判斷。若不是交錯級數，只能通過最根本的方法判斷，即看其前n項和是否有極限，具體問題具體分析。 比較判別法是充分必要條件，比值和根值法只是充分條件，不是必要條件。 函數項級數情況復雜，一般只研究冪級數。阿貝爾定理揭示了冪級數的重要性質：收斂區域存在一個收斂半徑。所以對冪級數，關鍵在于求出收斂半徑，而這可利用根值判別法解決。 逐項求導和逐項積分不改變冪級數除端點外的區域的斂散性，端點情況復雜，需具體分析。 一個函數能展開成冪級數的條件是：存在任意階導數。展開后的冪級數能收斂于原來函數的條件是：余項（誤差）要隨著項數的增加趨于零。這與泰勒展開中的結論一致。 微分方程：不同種類的方程有不同的常見解法，但理解上并無難處。 下冊（二） 定積分、二重積分、三重積分、第一類曲線積分、第一類曲面積分都可以概率為一種類型的積分，從物理意義上來理解是某個空間區域（直線段、平面區域、立體區域、曲線段、曲面區域）的質量，其中被積元可看作區域的微小單元，被積函數則是該微小單元的密度 這些積分最終都是轉化成定積分來計算 第二類曲線積分的物理意義是變力做功（或速度環量），第二類曲面積分的物理意義是流量 在研究上述七類積分的過程中，發現其實被積函數都是空間位置點的函數，于是把這種以空間位置作為自變量的函數稱為場函數 場函數有標量場和向量場，一個向量場相當于三個標量場 場函數在一點的變化情況由方向導數給出，而方向導數最大的方向，稱為梯度方向。梯度是一個向量，任何方向的方向導數，都是梯度在這個方向上的投影，所以梯度的模是方向導數的最大值 梯度方向是函數變化最快的方向，等位面方向是函數無變化的方向，這兩者垂直 梯度實際上一個場函數不均勻性的量度 梯度運算把一個標量場變成向量場 一條空間曲線在某點的切向量，便是該點處的曲線微元向量，有三個分量，它建立了第一類曲線積分與第二類曲線積分的聯系 一張空間曲面在某點的法向量，便是該點處的曲面微元向量，有三個分量，它建立了第一類曲面積分和第二類曲面積分的聯系 物體在一點處的相對體積變化率由該點處的速度場決定，其值為速度場的散度 散度運算把向量場變成標量場 散度為零的場稱為無源場 高斯定理的物理意義：對散度在空間區域進行體積分，結果應該是這個空間區域的體積變化率，同時這種體積變化也可看成是在邊界上的流量造成的，故兩者應該相等。即高斯定理把一個速度場在邊界上的積分與速度場的散度在該邊界所圍的閉區域上的體積分聯系起來 無源場的體積變化為零，這是容易理解的，相當于既無損失又無補充 物體在一點處的旋轉情況由該點處的速度場決定，其值為速度場的旋度 旋度運算把向量場變成向量場 旋度為零的場稱為無旋場 斯托克斯定理的物理意義：對旋度在空間曲面進行第二類曲面積分，結果應該表示的是這個曲面的旋轉快慢程度，同時這種旋轉也可看成是邊界上的速度環量造成的，故兩者應該相等。即斯托克斯定理把一個速度場在邊界上形成的環量與該邊界所圍的曲面的第二類曲面積分聯系起來。該解釋是從速度環量的角度出發得到的，比高斯定理要難，不強求掌握。 無旋場的速度環量為零，這相當于一個區域沒有旋轉效應，這是容易理解的 格林定理是斯托克斯定理的平面情形 進一步考察無旋場的性質 旋度為零，相當于對旋度作的第二類曲面積分為零——即等號后邊的第二類曲線積分為零，相當于該力場圍繞一閉合空間曲線作做的功為零——即從該閉合曲線上任選一點出發，積分與路徑無關——相當于所得到的曲線積分結果只于終點的選擇有關，與路徑無關，可看成終點的函數，這是一個場函數（空間位置的函數），稱為勢函數——所得的勢函數的梯度正好就是原來的力場——因為力場函數是連續的，所以勢函數有全微分 簡單的概括起來就是：無旋場——積分與路徑無關——梯度場——有勢場——全微分 要注意以上這些說法之間的等價性 三定理（Gauss Stokes Green）的向量形式和分量形式都要熟悉 |
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