心理學 - 話題

第二章 數據整理
&1.數據種類
一．間斷變量與連續變量   eg:人數 ～ 間斷
二．四種量表。
1．稱名量表。 Eg:307室，學好，電話好嗎   不能進行數學運算（也包括不能大小比較）
2．順序量表。Eg:名次。能力大小，不能運算
3．等距量表。可以運算（做加減法），不能乘除
             要求：沒有絕對0
                   年齡有絕對0
                   時間（年代，日歷。。。）位移無絕對0，可能有相對0，即有正負
4．等比量表。可做乘除法。
             要有絕對零。
成績中的，0分不是絕對0（因為并不說明此人一竅不通）
分數代表的意義。Eg:0~10分
                與90～100分。   每一分的“距離”不一樣
因為嚴格來說，成績是順序量表。但為了實際運用中的各種統計，把它作為等距量表
                                           &2.次數分布表
一．簡單次數分布表
eg:  組別            次數（人次）
1002
90～99             5
80～89             14
70～79             15
60～69             7
60分以下           3
1．求全距  R=Max – Min(連續變量)
           （間斷變量）——R=Max－Min+1
2．定組數  K(組數)＝1.87(N－1)。。。  →取整 N-總數  
3．定組距  I=R/K。一般，取奇數或5的倍數（此種更多）。
4．定各組限
5．求組值  X=(上限＋下限)/2     上限——指最高值加或取10的倍數等）
6．歸類劃記
7．登記次數
例題：      99   96  92  90  90           （I） R=99-57+1=43
            87   86  84  83  83
8282  80  79  78            (II)K=1.87(50-1)。。。≈9
7878  78  77  77
7776  76  76  76
7575  74  74  73            (III)I=R/K =43/9≈5
7272  72  71  71
7170  70  69  69
6867  67  67  65            (iu)組別      組值       次數
64   62  62  61  57              95~99      97           2
                                 90~94      92           3
                                 85~89      87           2
                                 80～84     82           6
                                 75～79     77           14
                                 70～74     72           11
                                 65～69     67            7
                                 60～64     62            4        
                                 55～59     57            1
                                 總和                     50
二．相對（比值）次數分布表。  累積次數分布表
相對（比值）累積次數：累積次數值/總數N
注：一般避免不等距組（“以上”“以下”稱為開口組）
相對次數       累積次數（此處意為“每組上限以下的人次）”小于制“
.04               50      
.06               48
.04               45
.12               43
.28               37
.22               23
.14               12
.08                5
.02                1
1.00
                                        &3.次數分布圖
一．直方圖
1．標出橫軸，縱軸（5：3）標刻度
2．直方圖的寬度（一個或半個組距）
3．編號，題目
4．必要時，頂端標數）
        圖

      
       二．次數多邊圖
1．畫點，組距正中
2．連接各點
3．向下延伸到左右各自一個組距的中央
最大值即y軸最大值
相對次數分布圖，只需將縱坐標改為比率。（累積次數，累積百分比也同樣改縱坐標即可）”S形”曲線是正態分布圖的累積次數分布圖
圖

《心理統計學》學習筆記——第三章　常用統計量數
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第三章  常用統計量數
&1.集中量
一．算術平均數
公式
算術平均數的優缺點。P36~37
算術平均數的特征。Σ（X-#）=0  離（均數）差
Σ（X-#）（X-#）取#時，得最小值
即：離差平方和是一最小值
二．幾何平均數
＃g= 略
long#g=1/NσlogXi
根據按一定比例變化時，多用幾何平均數
eg:      91年     92      93       94      95      96
12％      10％    11％     9％     9％     8%
求平均增長率
xg=
加權平均數
甲：600人         #=70分
乙：100人         #=80分
加權平均數：＃=(70*600+80*100)/(600+100)  (總平均數)eg:600人，100人
簡單平均數：（70＋80）/2
三．中（位）數。(Md)
1.原始數據計算法
分：奇、偶。
2．頻數分布表計算法（不要求）
3．優點，缺點，適用情況（p42）
四．眾數（Ｍo）
1．理論眾數
粗略眾數
2．計算方法：Mo=3Md-2#
Mo=Lmo+fa/(fa+fb)*I
計算不要求
3．優缺點
平均數，中位數，眾數三者關系。
&2.差異量數
一．全距
R=Max-Min
二．平均差（MD或AD）
MD={Σ|x-#(或Md)|}/N
三．方差
總體方差的估計值
S2 =Σ（X － #）2     反編
樣本的方差：σ2 x有編
N很小時，用S2 估計總體
N>30時，用S2 或σ2 x 都可以
計算方法：σ2 x＝Σx2 /N － (ΣX/N) 2
標準差σx＝σ2 x2/1  
四．差異系數（CV）
CV=σx/# *100%  CV∈[5%,35%]
3個用途
五．偏態量與鋒態量（SK）
1.偏態量：sk=(#-Mo)/σx
動差（一級~四級）   a3= Σ(x-#)3 、 / N/σx3      三級動差計算偏態系數）
2．峰態量：高狹峰 a4>0 (a4=0 ——正態峰)
低調峰。A4<0
用四級動差 a4=Σ(X - #)4/N/σx4－3
&3.地位量數
一．百分位數
eg30=60(分) “60分以下的還有30%的人”
二．百分等級
30→60（在30％的人的位置上，相應分數為60）
So→Md

《心理統計學》學習筆記—第四章　概率與分布
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第四章 概率與分布
                                       &1．概率
一．概率的定義
            W(A)=m/n (頻率/相對頻數)
后驗概率：  
            P(A)=lim m/n
先驗概率：不用做試驗的
二．概率的性質和運算
1．性質：o≤P≤1
         p=1  必然可能事件
         p=0  不可能事件
2．加法。
        P(a+b)=P(a)+P(b)
        “或”：兩互不相克事件和。
        推廣：“有限個” P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)
        eg:（1）A=出現點數不超過4（x≤4）
               P(A)=P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)=1/6+…1/6=4/6=2/3
            (2)完全憑猜測做判斷題，（共2道），做對1題的概率為：
              A={T.Ti  B={F.Ti C={T.Fi  D={F.Fi
              P=P(B)+P(C)=1/4+1/4=0.5
3.乘法：
        P(A1,A2…An)=P(A1),P(A2)…P(An)
        Eg1)四選1。（十道）完全憑猜測得滿分得概率：(1/4)*(1/4)…*(1/4)=1/410
                                       &2.二項分布
一．二項分布
P(x)=Cnxpxgn-x   做對的概率      px ：做錯的概率  gn-x ：X:對的數量pxgn-x  ——每一種分情況的概率。一種情況：pxgn-x   再乘上系數。
Eg:產品合格率為90％  取n=3（個）
                  TTT的情況         90 * 90*90=P3   0.729
                  TFT                90*0.10*90=P2g1  0.081
兩個合格的情況→  TTF
                  FTT
其概率  C32P2g1=3p2g1.
        Cn0P0gn+CnP1gn-1+…+CnPng0=1
注：二項分布可能的結果只有兩種。F 0r T
                               合格  Or   不合格
                               選對  Or   選錯
例：（1）10道是非題，憑猜測答對5，6，7，8，9，10題的概率？至少答對5題的概率？
   P(x=5)＝C510P5g5=C510(1/2)51/2)5=.24609
   P(x=6)=C610P6g4=C610(1/2)6(1/2)4=.20508
   P(x=7)=C710P7g3=C710(1/2)7(1/2)3=.11719
                                 =.04395
                                 =.00977
   +P(x=10)=C1010P10g0=(1/2)10    =.000098
  至少答對5題：P(X≥5) = 0.62306
(2)四選一，猜中8，9，10題的概率？
  P(x=8)=C819P8g2=C819(1/4)8(3/4)2=.0039
二．二項分布圖（P84~85）
三．二項分布的平均數與標準差（前提np≥5且ng≥5）
平均數——M=np        標準差——r=npg1/2
                                &3.正態分布
一．正態分布曲線
二．標準正態分布。（P387附表可查面積P）
    Z=(x-ц)/r  (x:原始分數)
    標準分數（有正有負） ΣZ=0
三．正態分布表的使用
查表       P(0≤Z≤1)=0.34134——Z的范圍中的人數比例（百分數）
           P(0≤Z≤1.645)=0.4500
                   1.64 － .44950=0.45
                   1.65 － .45053=0.45
          之上，標準分數高于2個標準差，則非常聰明。
          Eg:1.  μ=70(分)  σ＝10
                P(70≤x≤80)=p(o≤z≤1)
                P(60≤x≤70)=P(-1≤z≤0)
            2.μ
               P(0≤z≤1)=P(μ≤x≤μ+σ)
               P(-1≤z≤0)=P(μ-σ≤x≤μ)
圖（略）
例：某地區高考，物理成績 μ＝57。08（分）  σ＝18。04（分）
總共47000人。  （1）成績在90分以上多少人？
                （2）成績在（80，90）多少人？
                （3）成績在60分以下多少人？
解: X~N(57.08,18.042) —— 參數（μ,σ2）
Normal 表示符合正態分布
令Z= (x-57.08)/18.04） ,則Z~N(0,12)標準分數平均數一定為0，標準差一定為1。
（1）Z1=(90－57。08)/18.04=1.82
P(Z>1.82)=.0344
N1=np=47000*0.0344=1616(人)
(2)Zz=(80-57.08)/18.04=1.27
P(1.27<Z<1,82)=.46562-.39796=0.677
N2=NP=3177(人)
（3）Z3=(60-57.08)/18.04=0.16
P(Z<0.16)=.56356
N3=26487(人)
四．正態分布的應用
T=KZ+C  T~N(C,K2)
IQ=15Z+100  IQ=100 一般
             IQ≥130  ——超常
               (30=2x*15)
             IQ<70  —— 弱智
             70幾  ——bndenline
eg:1.某市參加一考試2800人，錄取150人，平均分數75分，標準差為8。問錄取分數定為多少分？
解：  X~N(75.82)
      Z=(x-#)/σx=(x-15)/8 ～N(0,12)
      P=150/2800=0.053
        0.5-0.053=0.447
              Z=1.615
            X=1.615*8+75≈88(分)
2．某高考，平均500分，標準差100分，一考生650分，設當年錄取10％，問該生是否到錄取分？
解：  Zo=(650-500)/100=1.5  (X～N(500,1002)(Z～N(0,12)
      Po=0.5-0.43319=0.06681=6.681%<10%
      所以可錄取。

《心理統計學》學習筆記—第五章　抽樣分布（概率P）
［ 作者：wtbtan    轉貼自：本站原創    點擊數：49    文章錄入：wtbtan ］

第五章  抽樣分布（概率P）
                                             &1.抽樣方法
一． 簡單隨機抽樣
二． 等距抽樣
三． 分層抽樣
四． 整群抽樣
五． 有意抽樣
&2.抽樣分布
（1）      （2）     （3）     （4）     （5）
20         25        30        35         40
           （1）    ＃＝20      22.5      25        27.5        30
           （2）     22.5        25       27.5       30         32.5
           （3）     25         27.5      30        32.5        35
           （4）     27.5        30       32.5       35         37.5
           （5）     30         32.5      35        37.5        40
總體分布
圖
抽樣分布
圖
一．平均數
E(#)=µ
二。標準差，方差。
  σx=σ/n1/2   σ#2=σ2/n
                                               &3.樣本均值（#）的抽樣分布
一．總體方差σ2已知時，＃的抽樣分布
1．正態總體，σ2  已知時，＃的抽樣分布
    設（X1,X2,…Xn）為抽自正態總體X~N(μ, σ2 )
的一個簡單隨機樣本，則其樣本均值＃也是一個正態分布的隨機變量，且有：
  E(#)=μ, σx2  =σ2 /n
    即＃～N(μ, σ2 /n)
     Z=(#-μ)σ/n1/2  
   Eg:一次測驗，μ=100  σ＝5
   從該總體中抽樣一個容量為25的簡單隨機樣本，求這一樣本均值間于99到101的概率？
解：     已知X～N(100,52)
           n=25.
        則＃～N(100,12)
        Z=(#-100)/1 ～ N(0,1)
        當#=99時，Z=-1
        當#=101時，Z=1
        所以P(99≤#≤101)
           =P(-1≤Z≤1)=.68268
2.非正態總體，σ2已知時，#的抽樣分布
   設（X1,X2,…Xn）是抽自非正態總體的一個簡單1隨機樣本。當n≥30時，其樣本均值＃接近正態分布，且有：
E(#)=μ, σx2  =σ2 /n
即#～N(μ, σ2 /n)
若是小樣本，題目無解。
Eg(1)一種燈具，平均壽命5000小時，標準差為400小時（無限總體）從產品中抽取100盞燈，問它們的平均壽命不低于4900小時的概率。
解：已知：μ＝5000，σ＝400，n=100>30是大樣本
所以＃近似正態分布
＃～N(5000,402)
當＃＝4900時，Z=(4900-5000)/400/1001/2=-2.5
    P(#≥4900)=P(Z≥-2.5)=0.99379
3.有限總體的修正系數
（引出）（2）同上題，從2000（有限總體）盞中不放回地抽取100盞，問。。。。。
（概念）設總體是有限的總體，其均值為μ，方差為σ2  （X1,X2…Xn）是以不放回形式從該總體抽取的一個簡單隨機樣本。則樣本均值＃的數學期望（E(#)）與方差為
E(#)=μ#=μ   和σ2  ＝（N-n）/(N-1)*( σ2  /n)
N→∞時，修正系數不計。 σ＝[（N-n）/(N-1)*( σ2  /n)]1/2  
.n/N≥0.05%,要用修正系數
如題（2），n/N＝0.05 所以要用修正系數
所以解題2：σx2 ＝（N-n）/(N-1) *( σ2  /n)＝2000－100）/2000-1=4002  /100=1520
           σ#=15201/2  =38.987
           Z=(4900-5000)/38.987= -2.565
           P(Z≥-2.565)=.9949
二．總體方差σ2 未知時，樣本均值＃的抽樣分布。
用S2(總體方差的估計值)代替  σ2
  t=(x-μ)/s/n1/2   ～tn-1→dp(自由度)=n-1
設（X1,X2,…Xn）
為抽自正態總體的一個容量為n的簡單隨機樣本，即t=(x-μ)/s/n1/2符合自由度為n-1的t分布
當總體為非正態分布，且σ2 未知。
則樣本   小：無解
         大：接近七分布 t≈  t=(x-μ)/s/n1/2  ～ tn-1
                         Z≈  t=(x-μ)/s/n1/2 ~ N(0,1)(也可用Z)
總體均值為80，非正態分布，方差未知，從該總體中抽一容量為64的樣本，得S=2,問樣本均值大于80.5得概率是多少？
解：因為64>30  是大樣本
   P(#>80.5)=P(t>(x-μ)/s/n1/2 )=P(t>2) df=63  P≈0.025
   若用Z，P(Z>z) ≈0.02275
  (若N24，總體正態，則Z分布1不能用，只能用七分布)
           非正態總體：小樣本——無解
                       大樣本——Z≈(x-μ)/σ/n1/2
σ2 已知     
           正態總體    Z=≈(x-μ)/σ/n1/2
             非正態總體：小樣本 —— 無解
σ2  未知：             大樣本——t≈(x-μ)/σ/n1/2 ≈Z
正態總體：小樣本——t=(x-μ)/σ/n1/2
                       大樣本——Z≈t=(x-μ)/σ/n1/2
                            &3.兩個樣本均值之差（#1-#2）的抽樣分布
若＃1是獨立地抽自總體X1～N(μ1,σ2  )的一個容量為n,的簡單隨機樣本的均值；＃是。。。X2～N(μ2, σ22 )的。。。n2.的。。。則兩樣本均值之差(#1－#2)～N(μ1-μ2,σ12/n1,σ22/n2)
復雜計算
一種鋼絲的拉強度，服從正態分布
總體均值為80，總體標準差6，抽取容量為36的簡單隨機樣本，求樣本均值∈[79，81]的概率
X~N(80,62)
Z~N(0,12)
Z=(x-μ)/6/361/2    =(x-8)/1
x∈[79,8081]
Z ∈[-1,1]
P=.68268
若σ不知。S=b，則 X～(80, σ2   )
用公式t=(# -μ)/s/n1/2    ~ tn-1  =t35
  某種零件平均長度0.50cm,標準差0.04cm,從該總零件中隨機抽16個，問此16個零件的平均長度小于0.49cm的概率
  無解。
抽100個，則概率？
Z≈(x-μ)/σ/n1/2 =(# - 0.50)/0.004
#<0.49  P(Z<-0.01/0.004)
       =P(Z<-2.5)=.49379=
從500件產品中不放回地抽25件。
25/500=0.05 要修正系數（N-n）/(N-1)≈.95
   某校一教師采用一種他認為有效的方法，一年后，從該師班中隨機抽取9名學生的成績，平均分84.5分，S=3。而全年級總平均分為82分，試問這9名學生的＃<84.5分的概率為多大？
  #～N(82, σ2 )  t～t8
  t=(# -μ)/s/n1/2 =84.5-82)/3/3=2.5
  df=8
  0.975≤P(t<2.5)
  說明方法有效
  （S=3是σ的估計值，兩組數據都很整齊。
圖（略）
                                                    &4.有關樣本方差的抽樣分布
一．f2分布
1．f2 分布的密度函數  f(x)=1/2n/2*r*n/2)* e-x/2*xn/2-1   (x>0)
                     f(x)=0                      (x≤0)
圖（略）
2.定理：
     設（X1,X2,X3…Xn）為抽自正態總體 X～N(μ,σ2 )的一個容量為n的簡單隨機樣本，則#=∑(X-#)2/n-1為相互獨立的隨機變量，且＃~N(μ, σ2 /n)
    ∑(X-#)2 /σ2 =（n-1）S2 /σ2 ~X2n-1(I=1,2,…n)
     若抽自非正態總體：小樣本 —— 無解
                       大樣本 —— X2≈(（n-1）S2 /σ2
二．F分布
1．F分布的密度函數
  f(x)= [(n1+n2)/2]/(n1/2)(n2/2) (n1/n2)(n1/n2*X)n1/2-1(1+n1/n2*X)-n1+n2/2     (x≥0)
  f(x)=0                                                        (x<0)
2.定理
  設(X1,X2,…Xn)為抽自X～N(μ1, σ2 1)的一個容量為n1的簡單~(y1,y2…yn)為抽自正態總體y～N(μ2, σ2 2)的一個容量n2的簡單～，則：
  當σ2 1=σ2 2時，
  F=S21/S22~F(n1-1,n2-1)  n1~分子自由度  n2～分母自由度

《心理統計學》學習筆記—第六章　參數估計（置信水平下的區間估計）
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第六章 參數估計（置信水平下的區間估計）
                                                 &1.點估計
  E(X)(即＃)=∑x/N→μ
  （拿一個點來估計參數）
D(X)= ∑(x-#)2 /N-1→σ2
                                                 &2.總體均值的區間估計
一．總體均值的區間估計，σ2 已知。
正態總體 x~N (μ, σ2 )
        #~N((μ, r2/n)  Z=(# -μ)/ σ/n1/2
1．某種零件的長度符合正態分布。σ＝1.5，從總體中抽200個作為樣本，＃＝8.8cm，試估計在95％的置信水平下，全部零件平均長的置信區間。
解：  已知X~N(μ,1.52 )
       n=200, #=8.8
1-a=0.95 →a-0.05
Z0.025=1.96
P(#-Za/2σ/n1/2 <μ<#+Za/2 n1/2
=P(8.59<μ<9.01)=0.95
10%>5%

若不放回地從2000個（總體）中抽出200個。——需修正系數
          所以用(N-n)/(n-1)1/2   P(# +- 1.96*σ/n1/2 *(N-n)/(n-1)1/2   =0.95=P(8.60,9.00)
  二 σ2 未知
  P(#-t(a/2,n01)S/ n1/2 <μ<#+t(a/2,n-1) S/ n1/2 )=1-a
為了制定高中學生體鍛標準，在某區隨機抽36名男生測100米，36名學生平均成績13.5秒，S=1.1秒，試估計在95％地置信水平下，高中男生100米跑成績的置信區間。
P(# + - 2.03* S/ n1/2 )=P(13.5+- 2.03*1.1/361/2 )=9.5
(13.5+-0.37)
即（13.13,13.87）
得(13.14,13.86)

50減去30等于多少？

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