南開大學 - 話題

南開大學數學科學學院：《高等代數》考試大綱


（一）多項式


考試內容
數域；一元多項式；整除的概念及性質；最大公因式及輾轉相除法；互素的概念及性質；不可約多項式的概念及性質；因式分解及唯一性定理。
考試要求
1.掌握數域、一元多項式的概念，了解一元多項式的運算及性質。
2.掌握多項式整除的概念，了解相關的性質。
3.掌握最大公因式的概念，了解輾轉相除法。
4.理解互素的概念，掌握兩個一元多項式互素的充分必要條件。
5.了解不可約多項式的概念及其性質。
6.了解一般系數的多項式的因式分解定理，掌握復系數與實系數多項式的因式分解定理。

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(八)λ-矩陣

考試內容
λ-矩陣的概念；λ-矩陣的初等變換；λ-矩陣間的等價概念及等價的充分必要條件；λ-矩陣在初等變換下的標準形；λ-矩陣的行列式因子、不變因子及兩者之間的關系；矩陣相似的條件；初等因子的概念；復方陣的若當標準形。
考試要求
1.了解λ-矩陣的秩、可逆等概念。
2.理解λ-矩陣的初等變換、等價等概念，掌握判定λ-矩陣等價的充分必要條件。
3.會用初等變換求λ-矩陣的標準形。
4.掌握λ-矩陣的行列式因子、不變因子、初等因子等概念及三者之間的關系。
5.掌握兩個矩陣相似的充分必要條件。
6.了解復方陣的若當標準形。

(九)歐幾里德空間
考試內容
內積的定義及其性質；歐幾里德空間的概念；正交基和標準正交基的概念；施密特（Schmidt）正交化過程；正交矩陣；正交變換及其性質；正交子空間、正交補及其性質；實對稱矩陣的特征值、特征向量及相似對角矩陣；歐幾里德空間的同構。
考試要求
1.掌握線性空間內積的概念及性質，理解歐幾里德空間的概念，了解歐幾里德空間中向量的正交，了解歐幾里德空間中基的度量矩陣及其用途。
2.理解正交基和標準正交基的概念，掌握標準正交基的求法（施密特正交化過程），了解標準正交基下度量矩陣、向量坐標及內積的特殊表達。
3.掌握正交矩陣的概念及性質，了解正交矩陣與標準正交基的過渡矩陣之間的關系。
4.理解正交變換的概念及其性質，了解正交變換和正交矩陣之間的關系。
5.理解正交子空間、正交補的概念及性質。
6.熟悉實對稱矩陣的特征值和特征向量的特殊性質，對給定的實對稱矩陣A會求正交矩陣T使T′AT成為對角矩陣。
7.了解歐幾里德空間同構的概念和性質，了解有限維歐幾里德空間同構的充分必要條件。

(九)歐幾里德空間
考試內容
內積的定義及其性質；歐幾里德空間的概念；正交基和標準正交基的概念；施密特（Schmidt）正交化過程；正交矩陣；正交變換及其性質；正交子空間、正交補及其性質；實對稱矩陣的特征值、特征向量及相似對角矩陣；歐幾里德空間的同構。
考試要求
1.掌握線性空間內積的概念及性質，理解歐幾里德空間的概念，了解歐幾里德空間中向量的正交，了解歐幾里德空間中基的度量矩陣及其用途。
2.理解正交基和標準正交基的概念，掌握標準正交基的求法（施密特正交化過程），了解標準正交基下度量矩陣、向量坐標及內積的特殊表達。
3.掌握正交矩陣的概念及性質，了解正交矩陣與標準正交基的過渡矩陣之間的關系。
4.理解正交變換的概念及其性質，了解正交變換和正交矩陣之間的關系。
5.理解正交子空間、正交補的概念及性質。
6.熟悉實對稱矩陣的特征值和特征向量的特殊性質，對給定的實對稱矩陣A會求正交矩陣T使T′AT成為對角矩陣。
7.了解歐幾里德空間同構的概念和性質，了解有限維歐幾里德空間同構的充分必要條件。

(九)歐幾里德空間
考試內容
內積的定義及其性質；歐幾里德空間的概念；正交基和標準正交基的概念；施密特（Schmidt）正交化過程；正交矩陣；正交變換及其性質；正交子空間、正交補及其性質；實對稱矩陣的特征值、特征向量及相似對角矩陣；歐幾里德空間的同構。
考試要求
1.掌握線性空間內積的概念及性質，理解歐幾里德空間的概念，了解歐幾里德空間中向量的正交，了解歐幾里德空間中基的度量矩陣及其用途。
2.理解正交基和標準正交基的概念，掌握標準正交基的求法（施密特正交化過程），了解標準正交基下度量矩陣、向量坐標及內積的特殊表達。
3.掌握正交矩陣的概念及性質，了解正交矩陣與標準正交基的過渡矩陣之間的關系。
4.理解正交變換的概念及其性質，了解正交變換和正交矩陣之間的關系。
5.理解正交子空間、正交補的概念及性質。
6.熟悉實對稱矩陣的特征值和特征向量的特殊性質，對給定的實對稱矩陣A會求正交矩陣T使T′AT成為對角矩陣。
7.了解歐幾里德空間同構的概念和性質，了解有限維歐幾里德空間同構的充分必要條件。

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