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考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)點(diǎn)撥：內(nèi)功深厚 融會(huì)貫通
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發(fā)表于 2015-06-01 23:05
樓主
數(shù)學(xué)教研室劉緯宇老師在之前的指導(dǎo)類文章中已經(jīng)提及并介紹過(guò)泰勒公式產(chǎn)生于用簡(jiǎn)單的函數(shù)代替復(fù)雜的函數(shù)。現(xiàn)在不妨設(shè)f(x)為一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)，而f(x0)+ f'(x0)(x-x0)+ f''(x0)/2!(x-x0)^2+...+ f(n)(x0)/n!(x-x0)^n是簡(jiǎn)單的函數(shù)，其中x0為給定的實(shí)數(shù)。這時(shí)老師雖看不到屏幕前你的表情，但能猜到大概。肯定有人在犯嘀咕：老師， 你不是在忽悠我吧？怎么我的感覺(jué)和你說(shuō)的正好相反——你說(shuō)的復(fù)雜的函數(shù)我看起來(lái)很簡(jiǎn)單，你說(shuō)的簡(jiǎn)單的函數(shù)反而看起來(lái)很復(fù)雜？
這還是老問(wèn)題，我們看問(wèn)題要看本質(zhì)：f(x)涉及到復(fù)雜的運(yùn)算，但卻披著一個(gè)簡(jiǎn)單的符號(hào)表示外 殼；那個(gè)長(zhǎng)長(zhǎng)的函數(shù)雖然樣子復(fù)雜，但只涉及到了簡(jiǎn)單的運(yùn)算：加法和乘法，人家是多項(xiàng)式！還有小伙伴在疑惑中，真的是多項(xiàng)式嗎？請(qǐng)注意一長(zhǎng)串符號(hào)中哪些是常 量，哪些是變量：只有x是變量，其余皆為常數(shù)。注意到x的最高次數(shù)出現(xiàn)在最后一項(xiàng)，為n次，所以我們可以明正言順地給這個(gè)“長(zhǎng)長(zhǎng)的式子”起個(gè)名字了——n 次多項(xiàng)式。 請(qǐng)仔細(xì)觀察，這兩個(gè)函數(shù)有什么關(guān)系？計(jì)算如下幾項(xiàng)即可水落石出：二者在x0的函數(shù)值，一階導(dǎo)數(shù) 值，二階導(dǎo)數(shù)值，......,n階導(dǎo)數(shù)值。發(fā)現(xiàn)什么了？二者的上述數(shù)值均相等。這說(shuō)明什么？說(shuō)明了二者在x0的附近函數(shù)值非常接近。如果畫出二者圖像， 不難得出二者在x0附近的圖像很接近。現(xiàn)在咱們的數(shù)學(xué)問(wèn)題是不是初步得到解決了：復(fù)雜的函數(shù)在x0附近和簡(jiǎn)單的函數(shù)——n次多項(xiàng)式近似相等。只是近似相等！數(shù)學(xué)家仍不滿足，他們有“宜將剩勇追窮寇，不可沽名學(xué)霸王”的情懷，于是考慮： 二者到底差多少呢？二者的差值我們稱為余項(xiàng)。余項(xiàng)有兩種形式：帶小o的形式和帶中值的形式，分別稱為皮亞諾余項(xiàng)和拉格朗日余項(xiàng)(我很想寫“張三余項(xiàng)”，可 是張三水平不夠，未作出相應(yīng)貢獻(xiàn))。兩種形式的公式能在各自的地盤上一顯身手：前者用來(lái)算極限，后者用來(lái)證明。 看，泰勒公式已悄然來(lái)到我們身邊！下面，我們經(jīng)典再回首，看看“高大上”的泰勒公式到底為何物。泰勒公式的思想是用簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù)表示復(fù)雜的函數(shù)。二者的差值用余項(xiàng)表示，余項(xiàng)有兩種形式：皮亞諾余項(xiàng)和拉格朗日余項(xiàng)。前者用來(lái)算極限，后者用來(lái)證明。 聊完了計(jì)算極限的高級(jí)武器——泰勒公式，我們?cè)倏创蛲ň�代任督二脈的不二法門——秩。秩可謂穿 越古今中外。在中國(guó)古代，有“品秩”一說(shuō)，表示官員按照俸祿的排序。在現(xiàn)代社會(huì)，請(qǐng)大家用秩組個(gè)詞？不少同學(xué)會(huì)想到“秩序”。這個(gè)詞也有次序的含義。那么 秩在英文中對(duì)應(yīng)哪個(gè)單詞呢？對(duì)，rank。rank也有次序，排序之意。總之，秩有級(jí)別、排序之意。那么在數(shù)學(xué)中矩陣的秩，向量組的秩是否也有此意呢？欲 知后事如何，且聽(tīng)下回分解。(劉緯宇/文) |
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