長春理工大學

長春理工大學數學研究生入學加試

《實變函數與泛函分析》考試大綱

一、總體要求

考生應按本大綱的要求，掌握Lebesgue的測度論，實變量的可測函數理論，Lebesgue積分理論與微分理論，掌握度量空間和賦范線性空間的概念和例子，有界線性算子和連續線性泛函的概念和例子，掌握Hilbert空間的基本性質。較好的掌握測度論與抽象積分理論，并且在一定程度上掌握集合的分析方法。

二、教材

《實變函數與泛函分析基礎(第二版)》，程其襄等，高等教育出版社,2003.

三、考試內容

(一) 集合

1. 掌握集合的概念，集合的包含和相等的關系和判定方法;

2. 熟練掌握集合的和、交、差、余的運算，掌握上限集、下限集和收斂集的定義

3. 會求集合的和、交、差、余，會求集合族的上限集、下限集，會判定集合列是否收斂;

4. 理解集合基數的概念，對等的概念，掌握Bernstein定理，會用Bernstein定理判定集合對等;

5. 掌握可數集合與具有連續基數的不可數集合的概念、例子和運算性質，能夠利用已知的例子和運算性質去確定集合為哪類無限集合;

6. 知道不存在具有最大基數的集合。

(二)點集

1. 理解距離和距離空間的概念，懂得Euclid空間是距離空間;

2. 掌握鄰域的概念與性質，掌握點列收斂、點集距離、有界集和區間的概念;

3.深入理解內點、外點、界點、聚點、孤立點的定義，理解并掌握集合的開核、導集、邊界、閉包的概念及相關的性質;

4. 熟練掌握開集、閉集的概念和相關性質，掌握緊集的概念，完備集的概念，掌握有限覆蓋定理;

5. 理解直線上開集、閉集的構造定理，掌握Cantor集的性質。

(三)測度論

1.深入理解并熟練掌握外測度，L-可測集的定義和基本性質，并掌握典型的例子

2.理解

(四)可測函數

1. 理解并掌握可測函數的定義與等價條件，掌握簡單函數的概念，幾乎處處收斂的概念，理解簡單函數與可測函數的關系;

2. 理解Egorov定理，Lusin定理;

3. 理解并掌握依測度收斂的定義，理解Riesz定理，Lebesgue定理，會利用這兩個定理去解決實際問題。

(五)積分論

1. 理解并熟練掌握Lebesgue積分的定義和等價條件，明確L-可積函數的種類;

2. 熟練掌握L-積分的性質：特別是Lebesgue控制收斂定理，Levi定理，逐項積分定理，積分的可數可加性，Fatou引理，能夠熟練地利用這些性質解決實際問題;

3. 知道L-積分與R-積分的關系;理解Lebesgue積分的幾何意義及Fubini定理。

(六)微分與不定積分

1. 掌握單調函數、有界變差函數的可微性和其微分的L-可積性,掌握不定積分的概念，絕對連續函數的概念，以及L-可積函數的Newton-Leibniz公式;

2. 理解分步積分法;

3. 了解Steiltjes積分。

(七)度量空間和賦范線性空間

1. 理解并熟練掌握度量空間中的相關概念和性質，特別是可分空間，完備度量空間，度量空間的完備化公理，壓縮影射原理及應用;

理解并掌握賦范線性空間的定義，例子;掌握Banach空間的定義，例子和性質。

(八)有界線性算子和連續線性泛函

1. 理解并掌握有界線性算子，無界線性算子，連續線性泛函的定義和例子;

2.理解并掌握算子范數的定義，會求簡單的算子范數;

3.理解并掌握有界線性算子空間及其共軛空間的定義，例子，及簡單的性質，會求簡單的線性算子空間的共軛空間;

4.了解廣義函數的定義和例子。

(九)　Hilbert空間

1. 掌握內積空間的定義，Hilbert空間的定義和例子，明確內積空間中范數、距離及正交的定義;

2. 理解并掌握Hilbert空間中的投影定理;

3. 掌握規范正交系，Fourier系數的定義，理解并掌握完全規范正交系，Fourier展開式的概念，掌握完全規范正交系的等價條件，判定定理，以及Hilbert空間中完全規范正交系的存在性;

4. 掌握Riesz表示定理，共軛算子的概念及性質;

5. 了解自伴算子，酉算子和正常算子的定義和簡單性質。