上海應用技術大學

《數學分析》考試大綱

1.實數集與函數

(1)掌握集合的概念與運算，區間與鄰域。理解映射與一一對應概念。了解幾個重要不等式。理解確界原理。

(2)掌握函數概念。掌握復合函數方法。了解反函數存在定理。理解初等函數。

(3)掌握函數的幾種特性(單調性、有界性、奇偶性、周期性等)

2. 數列極限

(1)理解數列極限概念。

(2)掌握收斂數列的性質。理解數列極限存在的條件。

3. 函數極限

(1)理解函數極限概念，掌握ε-δ論證方法。

(2)掌握函數極限的性質。理解函數極限存在的條件。

(3)掌握兩個重要極限的應用。

(4)掌握無窮小與無窮大概念。

4. 函數的連續性

(1)理解函數的連續與間斷概念。

(2)了解連續函數的性質。了解復合函數與反函數的連續性。理解閉區間上連續函數的性質。

(3)理解函數的一致連續性。理解初等函數的連續性。

5. 導數和微分

(1)掌握導數概念。

(2)掌握求導法則與導數計算。

(3)理解微分概念。

(4)理解高階導數與高階微分

6. 微分中值定理及其應用

(1)理解Rolle中值定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理。

(2)掌握Taylor公式和L’Hospital法則。

(3)理解函數的凸性及其性質。

(4)掌握利用導數研究函數的性態及函數作圖。

7. 實數的完備性

(1)理解子列概念。理解致密性定理，區間套定理，有限覆蓋定理。理解實數連續性定理的等價性。

(2)了解上、下極限概念。

8.不定積分

(1)理解原函數與不定積分概念。掌握基本積分公式和不定積分的運算法則。

(2)掌握換元積分法與分部積分法。

(3)掌握有理函數的不定積分，三角函數的不定積分和某些無理函數的不定積分。

9. 定積分

(1)理解定積分概念。掌握Newton-Leibniz公式。

(2)了解Darboux上、下和與Darboux上、下積分。理解可積充要條件和可積函數類。

(3)理解定積分性質。掌握變限積分及其性質。理解積分中值定理。

10. 定積分的應用

(1)理解微元法的基本思想。掌握用定積分計算幾何問題 (平面圖形面積，已知截面函數的立體體積，平面曲線弧長，旋轉體的體積與側面積)。

(2)掌握定積分計算物理問題 (變力做功，側壓力，質量與質心計算，引力問題)。掌握曲率計算。了解定積分的近似計算。

11. 反常積分

(1)理解反常積分概念

(2)理解無窮積分與瑕積分的收斂與發散概念。掌握斂散性判別法(比較法、Cauchy收斂準則、Dirichlet判別法與Abel判別法)。

12. 數項級數

(1)理解級數的收斂與發散概念。理解收斂級數的性質，Cauchy收斂準則。掌握正項級數的判別方法 (基本定理，比較法、比值法、根值法、積分法)。

(2)理解絕對收斂與條件收斂。掌握交錯級數的Leibniz判斂法，任意項級數的Dirichlet判別法與Abel判別法。

(3)了解級數的重排，級數的乘法，無窮乘積。

13. 函數列與函數項級數

(1)理解點態收斂與一致收斂概念。掌握函數列與函數級數一致收斂及判別法。

(2)理解一致收斂函數列與函數級數的分析性質。

14. 冪級數

(1)掌握冪級數的收斂半徑的求法，收斂區間與收斂域。

(2)掌握冪級數的和函數計算。掌握函數的冪級數展開式。

15. 傅里葉級數

(1)理解傅里葉級數的概念。會將函數展開為傅里葉級數。

(2)理解以2L為周期的函數的傅里葉級數展開式。

16. 多元函數的極限與連續

(1)理解平面點集，平面點列極限。了解R2上完備性定理。理解多元函數概念。

(2)掌握二元函數的極限與連續。理解有界閉區域上連續函數的性質。

17. 多元函數微分學

(1)理解偏導數與全微分的概念。掌握偏導數與全微分的計算。

(2)掌握復合函數的微分法，及方向導數與梯度的計算。

(3)理解多元函數的Taylor公式。

(4)掌握二元函數的極值與最值。

18. 隱函數存在定理及其應用

(1)理解隱函數概念。理解隱函數存在定理。

(2)掌握隱函數的微分法。了解隱函數組概念和存在定理。

(3)掌握空間曲線的切線和法面，空間曲面的切面和法線。

(4)掌握條件極值與Lagrange乘數法，最小二乘法。

19. 含參變量積分

(1)理解含參變量常義積分的分析性質。

(2)理解含參變量反常積分的一致收斂性概念。

(3)掌握一致收斂性判別法。理解一致收斂性積分的分析性質及其應用。

(4)了解Euler積分。

20. 曲線積分

(1)理解兩類曲線積分的概念與性質。

(2)掌握兩類曲線積分的計算。

(3)了解兩類曲線積分的聯系。

21.重積分

(1)理解二重積分概念。理解可積性充要條件。了解重積分的基本性質。理解三重積分概念。

(2)掌握二重積分與三重積分的計算，理解重積分的變量替換。

(3)掌握格林公式。理解曲線積分與路徑無關的條件。

(4)掌握極坐標、柱面坐標與球面坐標的計算法。

(5)掌握重積分的幾何應用與物理應用。

22. 曲面積分

(1)理解兩類曲面積分的概念與性質。

(2)掌握第一類曲面積分的計算。

(3)理解曲面的側，掌握第二類曲面積分的計算。

(4)了解兩類曲面積分的聯系。

(5)掌握Gauss公式和Stokes公式。

參考資料書：

《數學分析》(第4版，上、下冊) 華東師范大學數學系 高等教育出版社 2010

《吉米多維奇數學分析習題集題解》(一至六冊) 費定暉等，山東科學技術出版社 2012