2011年計算機數據結構考研復習重點解析：圖的應用

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圖是數據結構科目中難度最大的重點章節，在這兩年的考試中也作為重點來考查。圖這部分內容概念多、算法多、難度大。這就需要大家深刻理解每個知識點，多做練習，抓住規律，才能很好地解答這部分試題。圖這部分要求大家掌握圖的定義、特點、存儲結構、遍歷、圖的基本應用等內容。圖這部分的重點和難點是圖的基本應用，這在09年和10年的考試中有所體現。圖的基本應用包括：最小生成樹、最短路徑、拓撲排序、關鍵路徑等。09年考試中重點考查了最短路徑的判斷與證明。建議大家把圖的基本應用作為重點來復習。

下面介紹一下圖的基本應用：

一、最小生成樹

1．最小生成樹的基本概念

最小生成樹：邊的權值總和最小的生成樹。最小生成樹有很多重要的應用。《計算機學科專業基礎綜合輔導講義》中就介紹了最小生成樹在城市建設中的應用。

2．最小生成樹的性質 最小生成樹性質：設G=(V，E)是一個連通網絡，U是頂點集V的一個真子集。若(u，v)是G中一條“一個端點在U中(例如：u∈U)，另一個端點不在U中的邊(例如：v∈V-U)，且(u，v)具有最小權值，則一定存在G的一棵最小生成樹包括此邊(u，v)。

3．構造最小生成樹的算法

目前已有不少構造最小生成樹的算法，建議大家重點復習兩種常用的構造最小生成樹的算法：普里姆（Prim）算法和克魯斯卡爾（Kruskal）算法。

二、 最短路徑

最短路徑問題是與日常生活密切相關的問題，例如：路線選擇、計算機網絡路由選擇等，同時也是考試重點之一。《計算機學科專業基礎綜合輔導講義》分兩種情況討論了最短路徑問題。

最短路徑算法：

1．Dijkstra算法

Dijkstra算法主要特點是以起始點為中心向外層層擴展，直到擴展到終點為止。

定義G=(V,E)，定義集合S存放已經找到最短路徑的頂點，集合T存放當前還未找到最短路徑的頂點，即有T=V-S ：

Dijkstra算法描述如下：

（1）假設用帶權的鄰接矩陣edges來表示帶權有向圖，edges[i][j]表示弧<Vi, Vj>上的權值。若<Vi, Vj>不存在則置edges[i][j]=∞（計算機上用一個允許的最大值代替）。S為已經找到的從Vs出發的最短路徑的終點集合，它初始化為空集。那么，從Vs出發到圖上其余各頂點（終點）Vi可能達到的最短路徑長度的初值為：D[i]=deges[s][i] Vi∈V

（2）選擇Vj，使得D[j]=Min{D[i]|Vi∈V-S}，Vj就是當前求得的一條從Vs出發的最短路徑的終點。令S=S∪{Vj}

（3）修改從Vs出發到集合V-S上任一頂點Vk可達的最短路徑長度。如果D[j]+edges[j][k]<D[k]則修改D[k]為D[k]=D[j]+edges[j][k]

重復操作(2)(3)共n-1次。由此求得從Vs到圖上其余各頂點的最短路徑。

2．Floyd算法

Floyd算法的核心思想是通過一個圖的權值矩陣求出它的每兩點間的最短路徑矩陣。

建議大家重點掌握這兩種最短路徑算法，并多做習題來鞏固。《計算機學科專業基礎綜合輔導講義同步練習》中一道娛樂中心選址問題就是應用Floyd算法來求解的。

三、 拓撲排序

1．拓撲排序基本概念

AOV網是一種可以形象地反映出整個工程中各個活動之間前后關系的有向圖。在AOV網中，若不存在回路，則所有活動可排成一個線性序列，使得每個活動的所有前驅活動都排在該活動的前面，那么該序列為拓撲序列。

2．拓撲排序特點：

（1）拓撲序列不是唯一的。

（2）AOV網不一定都有拓撲序列。在AOV網中如果出現了有向環，則意味著某項活動應以自己作為先決條件，這是不對的，工程將無法進行。

大家要注意拓撲排序的應用，例如：利用拓撲排序判斷一個圖中是否存在回路。

四、 關鍵路徑

若在帶權的有向圖中，以頂點表示事件，有向邊表示活動，邊上的權值表示完成該活動的開銷(如該活動所需的時間)，則稱此帶權的有向圖為AOE網。

AOE網中，從開始頂點到結束頂點之間路徑長度中的最大路徑為關鍵路徑。由于AOE網中某些子工程（活動）可以同時進行，要保證每個子工程都能完成，完成該工程的最少時間就是該工程AOE網的關鍵路徑長度。

這部分要求大家能夠求解關鍵路徑，同步練習和《計算機學科專業基礎綜合考試全真模擬試題集》都配有相應的練習題。

目前已進入備考的最后沖刺階段，建議大家在做模擬題時，選擇與真題題型一致、題目難度和真題難度高度相近的模擬題，并嚴格按照考試時間來做模擬題。