2017考研數(shù)學(xué)：七大中值定理精講

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在高等數(shù)學(xué)內(nèi)容中，七大中值定理（零點(diǎn)定理、介值定理、三大微分中值定理、泰勒定理與積分中值定理）是大家在學(xué)習(xí)過(guò)程中認(rèn)為最難的部分。七大定理的難主要在于難理解、難應(yīng)用。

研究生入學(xué)考試中，與中值有關(guān)的問(wèn)題一直是考試中得分最少的題，我們應(yīng)如何更好的理解與掌握定理，靈活有效的使用定理？

▶第一，七大定理的歸屬。

零點(diǎn)定理與介值定理屬于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。三大中值定理與泰勒定理同屬于微分中值定理，并且所包含的內(nèi)容遞進(jìn)。積分中值定理屬于積分范疇，但其實(shí)也是微分中值定理的推廣。

▶第二，對(duì)使用每個(gè)定理的體會(huì)。

學(xué)生在看到題目時(shí)，往往會(huì)知道使用某個(gè)中值定理，因?yàn)檫@些問(wèn)題有個(gè)很明顯的特征—含有某個(gè)中值。關(guān)鍵在于是對(duì)哪個(gè)函數(shù)在哪個(gè)區(qū)間上使用哪個(gè)中值定理。

1、使用零點(diǎn)定理問(wèn)題的基本格式是“證明方程f(x)=0在a,b之間有一個(gè)（或者只有一個(gè)）根”。從題目中我們一目了然，應(yīng)當(dāng)是對(duì)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)使用零點(diǎn)定理。應(yīng)當(dāng)注意的是零點(diǎn)定理只能說(shuō)明零點(diǎn)在某個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)，當(dāng)要求說(shuō)明根在某個(gè)閉區(qū)間或者半開(kāi)半閉區(qū)間內(nèi)時(shí)，需要對(duì)這些端點(diǎn)做例外說(shuō)明。

2、介值定理問(wèn)題可以化為零點(diǎn)定理問(wèn)題，也可以直接說(shuō)明，如“證明在(a,b)內(nèi)存在ξ，使得f(ξ)=c”，僅需要說(shuō)明函數(shù)f(x)在[a,b]內(nèi)連續(xù)，以及c位于f(x)在區(qū)間[a,b]的值域內(nèi)。

3、用微分中值定理說(shuō)明的問(wèn)題中，有兩個(gè)主要特征：含有某個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（甚至是高階導(dǎo)數(shù)）、含有中值（也可能有多個(gè)中值）。應(yīng)用微分中值定理主要難點(diǎn)在于構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)。在微分中值定理證明問(wèn)題時(shí)，需要注意下面幾點(diǎn)：

（1）當(dāng)問(wèn)題的結(jié)論中出現(xiàn)一個(gè)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)與一個(gè)中值時(shí)，肯定是對(duì)某個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)使用羅爾定理或者拉格朗日中值定理；

（2）當(dāng)出現(xiàn)多個(gè)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)與一個(gè)中值時(shí)，使用柯西中值定理，此時(shí)找到函數(shù)是最主要的；

（3）當(dāng)出現(xiàn)高階導(dǎo)數(shù)時(shí)，通常歸結(jié)為兩種方法，對(duì)低一階的導(dǎo)函數(shù)使用三大微分中值定理、或者使用泰勒定理說(shuō)明；

（4）當(dāng)出現(xiàn)多個(gè)中值點(diǎn)時(shí)，應(yīng)當(dāng)使用多次中值定理，在更多情況下，由于要求中值點(diǎn)不一樣，需要注意區(qū)間的選擇，兩次使用中值定理的區(qū)間應(yīng)當(dāng)不同；

（5）使用微分中值定理的難點(diǎn)在于如何構(gòu)造函數(shù)，如何選擇區(qū)間。對(duì)此我的體會(huì)是應(yīng)當(dāng)從需要證明的結(jié)論入手，對(duì)結(jié)論進(jìn)行分析。我們總感覺(jué)證明題無(wú)從下手，我認(rèn)為證明題其實(shí)不難，因?yàn)樽C明題的結(jié)論其實(shí)是對(duì)你的提示，只要從證明結(jié)論入手，逐步分析，必然會(huì)找到證明方法。

4、積分中值定理其實(shí)是微分中值定理的推廣，對(duì)變上限函數(shù)使用微分中值定理或者泰勒定理就可以得到積分中值定理甚至類(lèi)似于泰勒定理的形式。因此看到有積分形式，并且?guī)в兄兄档淖C明題時(shí)，一定是對(duì)某個(gè)變上限積分在某點(diǎn)處展開(kāi)為泰勒展開(kāi)式或者直接使用積分中值定理。當(dāng)證明結(jié)論中僅有積分與被積函數(shù)本身時(shí)，一般使用積分中值定理；當(dāng)結(jié)論中有積分與被積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，一般需要展開(kāi)變上限積分為泰勒展開(kāi)式。