顧沛：數(shù)學(xué)之美，我講給你聽

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“我叫顧沛，今年72歲，已經(jīng)教了43年的數(shù)學(xué)。”“數(shù)學(xué)，使一些人垂頭喪氣，又讓一些人如醉如癡。”在很多場合，南開大學(xué)數(shù)學(xué)教授顧沛的開場白，像他往常在數(shù)學(xué)文化課上要求學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表述一樣，“要做到準確、嚴謹、規(guī)范、完整、簡潔”。

他頂著一連串“國”字頭榮譽：首屆國家級教學(xué)名師獎獲得者，歷任教育部高等學(xué)校數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會副主任、國家基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會委員，曾獲國家級教學(xué)成果一等獎一項、二等獎三項，是兩項“全國五一勞動獎狀”的帶頭人，也是首批“國家級教學(xué)團隊”的帶頭人……

他開設(shè)高等代數(shù)、抽象代數(shù)、數(shù)學(xué)文化、大學(xué)文科數(shù)學(xué)4門本科生課程——每門都被評為國家精品課程。其中，數(shù)學(xué)文化課程還被評為首批國家精品視頻公開課程。

前不久，顧沛為“國培計劃(2017)”——專職培訓(xùn)團隊研修項目天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)班(高校班)學(xué)員作了題為“把教學(xué)當作一門藝術(shù)”的專題報告。近兩個小時的報告中，全場氣氛輕松熱烈、互動頻繁。“近距離地接觸顧老師，更感覺到師者的偉大，才真正認識到數(shù)學(xué)思維是多么的重要，數(shù)學(xué)語言是多么的嚴謹而富有美感!”學(xué)員董金茂說。

數(shù)學(xué)文化之核心：數(shù)學(xué)之美

顧沛認為，數(shù)學(xué)的魅力是需要感悟的。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，將幫助一個人提高思維品質(zhì)。“在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，不僅要學(xué)會數(shù)學(xué)知識，更要體會數(shù)學(xué)知識中蘊含的數(shù)學(xué)文化。要掌握數(shù)學(xué)觀點，理解數(shù)學(xué)思維，學(xué)會數(shù)學(xué)方法，了解數(shù)學(xué)思想，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，逐步學(xué)會感悟數(shù)學(xué)之美。”

“數(shù)學(xué)文化課是一門文理交融的課程。從狹義上講，‘數(shù)學(xué)文化’是數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點、語言，以及它們的形成和發(fā)展;從廣義上講，還包含數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系，等等。”顧沛說。

在數(shù)學(xué)文化課上，顧沛常常信手拈來，用一些淺顯易懂的例子說明抽象而深刻的數(shù)學(xué)道理。比如，“一一對應(yīng)”中的數(shù)學(xué)美，學(xué)生不易理解。于是，他設(shè)計了“大足石刻千手觀音”的情境，通過從感性到理性的講解，讓學(xué)生悟出其中的數(shù)學(xué)美。

“重慶附近有個大足石刻。其中一個是千手觀音。千手觀音，到底有多少只手呢?往往你第一次數(shù)和第二次數(shù)的結(jié)果是不一樣的，因為千手觀音的手太多了，太亂了，你可能重復(fù)地數(shù)了一只手，也可能漏數(shù)了一只手。”顧沛舉了一位明朝工匠的例子。工匠找來2000張金箔，一張一張地往觀音的手上貼，既不會漏掉一只手，也不會重復(fù)地貼一只手;這樣，貼上的金箔和觀音的手指就產(chǎn)生了一一對應(yīng)的關(guān)系。再數(shù)剩下的金箔，算出貼上的金箔數(shù)，最后的數(shù)字是1007，這就是千手觀音手的數(shù)目。

顧沛的講座中，這樣的例子不勝枚舉。他用“韓信點兵”的故事講解剩余定理，讓學(xué)生看到中國古代的數(shù)學(xué)成就;用“有無限個房間的旅館”客滿后仍然能安排新來的客人，解釋無限與有限的根本區(qū)別，讓學(xué)生感悟“無限”中的數(shù)學(xué)美;用“10秒鐘計數(shù)”的游戲，逐步引出斐波那契數(shù)列與黃金分割;還以“抓堆”游戲引出“解決關(guān)于自然數(shù)的問題”的四點規(guī)律，讓學(xué)生感悟其中的數(shù)學(xué)之美……

盡管已年逾古稀，但顧沛對傳播“數(shù)學(xué)之美”的事業(yè)一刻也沒有停歇。不久前，在為天津市南開中學(xué)學(xué)生作“英才計劃”校園宣講時，他開門見山地說，當今社會十分重視人才的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，一些企業(yè)招聘考試、高校的自主招生考試，往往也與數(shù)學(xué)素養(yǎng)相關(guān)。“在這些數(shù)學(xué)素養(yǎng)中，蘊含并體現(xiàn)著豐富的數(shù)學(xué)之美，就看我們能不能理解它、掌握它，就看我們有沒有數(shù)學(xué)審美的觀點和思想，就看我們能不能透過現(xiàn)象看本質(zhì)，感悟到數(shù)學(xué)之美。”

“這些年，不時有人問我，學(xué)了13年的數(shù)學(xué)，定理、公式，生活中用不上，工作中也從來沒用過，為什么高等數(shù)學(xué)還要設(shè)為必修課，連文科生也不例外?到底數(shù)學(xué)的價值何在?今天來到這里，就想?yún)f(xié)助澄清這個誤解，讓大家對數(shù)學(xué)不再畏懼。”2015年8月，顧沛還趕了一回“時髦”，他受邀參加山東衛(wèi)視真人秀節(jié)目《我是先生》，在電視節(jié)目中講授數(shù)學(xué)文化。
節(jié)目中，顧沛以轉(zhuǎn)盤摸彩的游戲為例，深入淺出地講解了如何以“心中有數(shù)”“簡化和量化”“邏輯推理”為基礎(chǔ)，用數(shù)學(xué)解決實際問題的方法，巧妙地解讀了數(shù)學(xué)文化課的特色和亮點。節(jié)目結(jié)束時，全場觀眾對顧沛和他的數(shù)學(xué)文化課報以熱烈的掌聲。

“數(shù)學(xué)文化課程著重于傳授數(shù)學(xué)思想，其精髓是數(shù)學(xué)知識與科學(xué)精神的有機融合，是科學(xué)素質(zhì)教育與人文素質(zhì)教育的有機融合。”十多年來，顧沛和他的同事們不遺余力地推廣著這一理念。對于這群數(shù)學(xué)教師來說，“數(shù)學(xué)文化”早已不僅是一門普通的課程，而是值得為之付出一生的事業(yè)。

數(shù)學(xué)文化之傳播：課堂藝術(shù)

近年來，包括清華、北大在內(nèi)的180余所高校、60余所中小學(xué)都曾邀請顧沛作數(shù)學(xué)文化報告。全國性的各種教改會議，特邀他作數(shù)學(xué)文化課程方面的報告，達20余次。

顧沛熱愛三尺講臺。很多學(xué)生說：“顧先生站在那，已是一道風(fēng)景。”每次他說“下課”時，學(xué)生們都會全體鼓掌，向他表示敬意。

每次上課，他都十分重視與學(xué)生的互動交流。他有個口頭禪：“大家可以交頭接耳地討論，一分鐘后舉手回答。”“在這一分鐘內(nèi)，有時是沒有學(xué)生舉手的。但不要認為這一分鐘是無用功，其實學(xué)生正在頭腦內(nèi)展開激烈的思考，實際上每分鐘都是教書育人。”顧沛說。

每到學(xué)期末，顧沛的“半開卷考試”更是讓學(xué)生領(lǐng)略了他的教學(xué)藝術(shù)之美。半開卷考試與開卷考試的區(qū)別，在于允許考生攜帶指定的資料進入考場。雖然指定可攜帶資料，但他仍和學(xué)生“約法三章”：一是不能攜帶書和筆記本進考場，只能帶一張A4大小的紙;二是紙的正反兩面可事先寫上內(nèi)容，但不許打印，不許復(fù)印，只能手寫;三是字的顏色只能以藍色為主，因為“復(fù)印機是印不出來藍色字跡的”。之所以約法三章，是因為在顧沛看來，“數(shù)學(xué)文化課主要考查學(xué)生的能力，考查學(xué)生對數(shù)學(xué)文化的理解”。
多年來，數(shù)學(xué)文化課的選課十分火爆，每次都因人數(shù)過多需要計算機篩選。有的學(xué)生連選三個學(xué)期均未選上此課，不得已向教務(wù)處老師求情，爭取不通過計算機選課而通過手選上課。

有一名學(xué)生記錄了上數(shù)學(xué)文化課的多個“第一次”：“第一次用美學(xué)的眼光來看待數(shù)學(xué);第一次了解到數(shù)學(xué)在各個領(lǐng)域所發(fā)揮的重要作用;第一次走進數(shù)學(xué)史的長河，去追隨數(shù)學(xué)家的足跡;第一次體會到數(shù)學(xué)中濃郁的人文主義精神;第一次知道曾深刻影響人類社會發(fā)展進程的3次數(shù)學(xué)危機……數(shù)學(xué)文化課向我展示了數(shù)學(xué)極富魅力的一面，不是以往數(shù)學(xué)課上的定理、公式、計算和題海，而是數(shù)學(xué)的思想、精神和方法。”

從南到北、從春到冬，數(shù)學(xué)文化課還經(jīng)常會贏得校外追隨者的掌聲。2013年冬天，深圳職業(yè)技術(shù)學(xué)院的幾位干部、教師特意來南開大學(xué)就數(shù)學(xué)文化課“取經(jīng)”。那天，顧沛講的是“類比的思想”。他精彩而富有激情的講解、嚴謹縝密的推理、融洽的師生互動，讓大家不禁嘆服，“顧老師的課讓人如沐春風(fēng)，聽后意猶未盡”。青年教師劉志勇說：“當老師就應(yīng)該如顧老師這樣充滿熱情，熱愛教學(xué)，全情投入。”

回校以后，為了讓更多師生了解數(shù)學(xué)文化、認識數(shù)學(xué)文化，深圳職業(yè)技術(shù)學(xué)院又于2014年邀請顧沛到校進行講座，向全校師生推廣和普及數(shù)學(xué)文化。同年，他們也在全校開設(shè)了數(shù)學(xué)文化通識課程，并于2017年在商務(wù)印書館出版了一部高職類的數(shù)學(xué)文化教材。如今，當年的青年教師劉志勇已成為該校數(shù)學(xué)文化課的領(lǐng)頭人。

談及從教40余年的感悟，顧沛深有體會：“一個教師如果既把教學(xué)當作職業(yè)去恪守，又把教學(xué)當作事業(yè)去熱愛，還把教學(xué)當作科學(xué)和藝術(shù)去追求，那么，境界高了，教學(xué)效果也一定會更好。”

數(shù)學(xué)文化之靈魂：素養(yǎng)教育

師者，所以傳道授業(yè)解惑也。在顧沛看來，“傳道”是第一位的，只知道授業(yè)解惑的老師，充其量是經(jīng)師。古人說“經(jīng)師易得，人師難求”，好教師不能僅僅是句讀之師，更要是人師。

顧沛特別關(guān)心學(xué)生，特別是那些遇到困難的學(xué)生。1989級數(shù)學(xué)試點班學(xué)生孫文昌在讀大學(xué)時差幾分沒考過英語四級，按規(guī)定不能正常畢業(yè)。一連幾天，顧沛跑到教務(wù)處“求情”：“文昌是個學(xué)數(shù)學(xué)的苗子!”一番努力之下，學(xué)校破格允許他免試留校讀研，條件是下一年考過英語四級。

后來，孫文昌順利完成博士階段的學(xué)習(xí)，之后在陳省身數(shù)學(xué)研究所從事博士后研究，并獲中國博士后科學(xué)基金一等資助金。

博士后出站后，孫文昌留校任教，于2002年晉升教授，先后獲微軟青年教授獎、天津市青年科技獎、天津市自然科學(xué)一等獎、國務(wù)院政府特殊津貼和國家杰出青年科學(xué)基金。“如果沒有顧老師的關(guān)心，我肯定不會有今天的成績。特別感謝顧老師給我不一樣的人生。”孫文昌說。

從2015年秋季開始，南開大學(xué)“數(shù)學(xué)文化”公共選修課以“慕課”(MOOC)的形式開展線上、線下相結(jié)合的教學(xué)。線上，學(xué)生自主安排時間在“中國大學(xué)MOOC”平臺學(xué)習(xí)，觀看顧沛的《數(shù)學(xué)文化十講》教學(xué)視頻，完成課堂作業(yè)、參與在線討論;線下，學(xué)生按照課表在教室上見面課，師生互動、加深、拓展線上學(xué)習(xí)內(nèi)容，完成課堂練習(xí)。

最近的一次數(shù)學(xué)文化課上，學(xué)生鄒文俊就在演講中當了一次“先生”。在與顧沛討論幾次后，一個頗具吸引力的演講題目出爐：圍棋棋盤為什么有十九路?通過查閱史料，鄒文俊發(fā)現(xiàn)最初的圍棋棋盤并不是十九路的，“這就說明當今圍棋棋盤是十九路必有它的合理性”，循著這樣的思路，鄒文俊展開了進一步研究。

試講時，顧沛幫他反復(fù)修改提綱，并提出很多中肯的意見。“演講者要站在聽眾的角度，讓聽眾更容易理解”“做課件時，背景與字體顏色的反差要明顯，要用不同顏色的字體突出重點”，這些話像烙印一樣，深深地印在鄒文俊的腦海中。

實際上，雖然上臺演講只有十幾分鐘，但演講前的試講交流，顧沛和學(xué)生往往至少要花費一個半小時。“怎么突出重點，怎么淺顯易懂，怎么讓更多的學(xué)生受益、學(xué)有收獲，這些都要具體指導(dǎo)。”顧沛說。

令鄒文俊印象更深的是，試講時，顧沛還針對演講中“所占目數(shù)”“目效率”等許多專用名詞的定義與解釋和他討論了很久，還建議他在演講中加入一些提問與互動過程，并且對課件中的一些概念、定義等作好備注，使用一些圖解說明，讓聽眾感覺通俗易懂、深入淺出。

當演講正式開始，鄒文俊由圍棋的歷史引入，并學(xué)著顧沛的樣子：“給大家一分鐘思考：為什么圍棋棋盤是十九路的……”正因為準備充分，鄒文俊的演講十分從容、成功。
“有句話叫‘灌滿這桶水’，還有句話是‘點燃這把火’。”顧沛這樣總結(jié)自己的“育人經(jīng)”，“前者說的是知識的傳授，后者說的是育人，引起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，讓他們能夠全面學(xué)習(xí)、可持續(xù)地學(xué)習(xí)、終身學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)中學(xué)會學(xué)習(xí)。”

“數(shù)學(xué)文化課的主要目的是改善學(xué)生思維品質(zhì)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。而且，好教師要做學(xué)生學(xué)習(xí)的設(shè)計者、引導(dǎo)者、啟發(fā)者、指導(dǎo)者、合作者，成為學(xué)生學(xué)習(xí)的伙伴。”顧沛是這樣說的，更是這樣做的。(本報記者 徐德明)