2019考研數(shù)學(xué)：線性代數(shù)基礎(chǔ)階段復(fù)習(xí)指導(dǎo)

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2018考研終于拉下帷幕，從今年的命題來(lái)看，命題角度新穎，綜合性提高，難度上升，很多18的考生反應(yīng)今年線性代數(shù)考難了。所以今年的考題特點(diǎn)和命題趨勢(shì)會(huì)給將要考研的2019的考生以啟示。在線性代數(shù)的學(xué)習(xí)上，同學(xué)們經(jīng)常走兩個(gè)極端，一部分同學(xué)感覺線性代數(shù)是比較好掌握的，也有一部分同學(xué)感覺這部分難度比較大。這跟線性代數(shù)的科目特點(diǎn)有關(guān)。線性代數(shù)課程的特點(diǎn)是系統(tǒng)，前后知識(shí)的聯(lián)系非常緊密，概念性很強(qiáng)，對(duì)于抽象性與邏輯性有較高的要求，題型比較固定。那基礎(chǔ)階段應(yīng)如何復(fù)習(xí)呢?在基礎(chǔ)階段學(xué)習(xí)資料我認(rèn)為只需準(zhǔn)備教材和一本帶考綱的基礎(chǔ)教程，線代教材推薦同濟(jì)五版《線性代數(shù)》或清華大學(xué)的，基礎(chǔ)教程推薦海文考研的教程或講義，在接觸輔導(dǎo)書之前最好先好好學(xué)一遍教材，對(duì)內(nèi)容大致有個(gè)了解，必須結(jié)合考綱，這樣才有針對(duì)性。但僅看教材，備考數(shù)學(xué)還是不夠的，所以還必須認(rèn)真學(xué)習(xí)專門針對(duì)考研的基礎(chǔ)教程，基礎(chǔ)教程的內(nèi)容一般包括知識(shí)點(diǎn)(和教材相比更有針對(duì)性，帶總結(jié)性)，典型例題(和教材相比更貼近考研，綜合性更強(qiáng))和鞏固習(xí)題。以下從三方面講一講基礎(chǔ)階段如何復(fù)習(xí)好線性代數(shù)。

一、掌握基本概念，建立知識(shí)框架。

1掌握基本概念

在線代中，定義特別重要，定義往往是掌握原理的出發(fā)點(diǎn)的，例如線性相關(guān)無(wú)關(guān)，矩陣的關(guān)系中等價(jià)，相似，合同等。把這些說(shuō)法用數(shù)學(xué)語(yǔ)言嚴(yán)格的表示出來(lái)就是定義，然后再分析相互之間有什么聯(lián)系。考研數(shù)學(xué)中會(huì)出現(xiàn)一些考查說(shuō)法的選擇題，這類題就是專撿那些易混淆部分來(lái)考的，命題人可謂是挖空心思，無(wú)孔不入，大家可以翻翻歷年真題看看就明白了。

線性代數(shù)的概念很多，重要的概念有：代數(shù)余子式，伴隨矩陣，逆矩陣，初等變換與初等矩陣，正交變換與正交矩陣，秩(矩陣、向量組、二次型)，等價(jià)(矩陣、向量組)，線性組合與線性表出，線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)，極大線性無(wú)關(guān)組，基礎(chǔ)解系與通解，解的結(jié)構(gòu)與解空間，特征值與特征向量，相似與相似對(duì)角化，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形，正定，合同變換與合同矩陣。

2弄清聯(lián)系和區(qū)別

線性代數(shù)內(nèi)容前后聯(lián)系緊密，相互滲透，各知識(shí)點(diǎn)之間有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，因此解題方法靈活多變。記住知識(shí)點(diǎn)不是難事，但要把握好知識(shí)點(diǎn)的相互聯(lián)系，非得下一番功夫不可。首先要把握定理和公式成立的條件，一定要注意同時(shí)把某一知識(shí)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的適用條件掌握好!對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握最好要掌握原理，而不僅僅是強(qiáng)記，個(gè)人覺得這兩者是結(jié)合起來(lái)的吧，能掌握原理的就掌握原理，如果實(shí)在不能在短時(shí)間內(nèi)掌握再?gòu)?qiáng)記。對(duì)于知識(shí)點(diǎn)涉及的定理等最好是自己給出證明，例如秩的相關(guān)結(jié)論的證明，這些證明往往非常簡(jiǎn)單，幾行字就能解決問(wèn)題，但對(duì)加深知識(shí)概念理解和基本方法運(yùn)用非常有用。

再者要弄清知識(shí)點(diǎn)之間的縱橫聯(lián)系，這和高數(shù)的學(xué)習(xí)方法有很大不同，例如：等價(jià)、相似、合同之間相互有無(wú)關(guān)系?比如等價(jià)是否一定相似，相似是否一定合同，反過(guò)來(lái)呢?這些一定要搞清楚，不能一知半解。再如向量的線性表示與非齊次線性方程組解的討論之間的聯(lián)系;向量的線性相關(guān)(無(wú)關(guān))與齊次線性方程組有非零解(僅有零解)的討論之間的聯(lián)系;實(shí)對(duì)稱陣的對(duì)角化與實(shí)二次型化標(biāo)準(zhǔn)形之間的聯(lián)系等。另外還有容易混淆的地方，如矩陣的等價(jià)和向量組的等價(jià)之間的關(guān)系，線性相關(guān)與線性表示等。掌握它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，對(duì)大家做線性代數(shù)部分的大題也有很大的幫助。

強(qiáng)烈建議大家在復(fù)習(xí)過(guò)程中自己多總結(jié)，既要記得知識(shí)點(diǎn)，又要注意把某一知識(shí)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的適用條件也掌握好，還要把握知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系和區(qū)別。只有同時(shí)把這幾方面把握住了，概念這一塊才算過(guò)關(guān)，才算打好了基礎(chǔ)。

3建立知識(shí)框架

基礎(chǔ)階段線代要大概圍繞以下內(nèi)容建立知識(shí)框架，即線性方程組，向量，秩，矩陣運(yùn)算。建立知識(shí)框架，類似于圍棋中的布局，要想下好棋，大局觀非常重要，這在線性代數(shù)尤其重要。

線性代數(shù)的學(xué)習(xí)切入點(diǎn)：線性方程組，線代貫穿的主線就是求方程組的解，換言之，可以把線性代數(shù)看作是在研究線性方程組這一對(duì)象的過(guò)程中建立起來(lái)的學(xué)科，不管是向量的線性相關(guān)，線性表示，還是求特征向量，都是圍繞線性方程組。關(guān)于線性方程組的解，有三個(gè)問(wèn)題值得討論：(1)方程組是否有解，即解的存在性問(wèn)題;(2)方程組如何求解，有多少個(gè)解;(3)方程組有不止一個(gè)解時(shí)，這些不同的解之間有無(wú)內(nèi)在聯(lián)系，即解的結(jié)構(gòu)問(wèn)題。

線性方程組求解主要是高斯消元法，在利用求解的過(guò)程中涉及到一種重要的運(yùn)算，即把某一行的倍數(shù)加到另一行上，也就是說(shuō)，為了研究從線性方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)判斷它有沒有解，有多少解的問(wèn)題，需要定義這樣的運(yùn)算，這提示我們可以把問(wèn)題轉(zhuǎn)為直接研究這種對(duì)n元有序數(shù)組的數(shù)量乘法和加法運(yùn)算，即向量。例如大家可以通過(guò)一些簡(jiǎn)單例子體會(huì)線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)(零向量一定線性無(wú)關(guān)、單個(gè)非零向量線性無(wú)關(guān)、單位向量組線性無(wú)關(guān)等等)。也可以從多個(gè)角度(線性組合角度、線性表出角度、齊次線性方程組角度)體會(huì)線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)的本質(zhì)。這部分內(nèi)容概念多，定理性質(zhì)也多，光憑記憶是很難掌握的。

秩是一個(gè)非常深刻而重要的概念，就可以判斷向量組是線性相關(guān)還是線性無(wú)關(guān)，有了秩的概念以后，我們可以把線性相關(guān)的向量組用它的極大線性無(wú)關(guān)組來(lái)替換掉，從而得到線性方程組有解的充分必要條件：若系數(shù)矩陣的列向量組的秩和增廣矩陣的列向量組的秩相等，則有解，若不等，則無(wú)解。秩的靈活運(yùn)用，充分體現(xiàn)了線性代數(shù)中推理和抽象性強(qiáng)的特點(diǎn)，同學(xué)們?cè)谧鲱}時(shí)要好好體會(huì)，因此有必要進(jìn)一步好好研究向量組的秩的計(jì)算方法。

在研究線性方程組的解的過(guò)程當(dāng)中，同學(xué)們注意到矩陣及其秩有著重要的地位和應(yīng)用，故還有必要對(duì)矩陣及其運(yùn)算進(jìn)行專門研究，建立這方面的知識(shí)框架。

4做題鞏固

初步掌握知識(shí)點(diǎn)以后要做什么?自然是用于解題了，做題一定要建立在完成知識(shí)點(diǎn)的總結(jié)的基礎(chǔ)上，不能光傻傻的看書，這樣你會(huì)一直沒有進(jìn)步，一定要拿起筆，書上寫得再好也還是編者老師的東西，只有自己總結(jié)的才是自己的。一定要完成指定習(xí)題，最好把鞏固習(xí)題也完成，做題會(huì)鞏固知識(shí)點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)自己存在的問(wèn)題，逐步提高自己的解題能力。最好將自己的總結(jié)筆記分成兩類，一類是知識(shí)點(diǎn)筆記，一類是題型思路歸納(題型研究是強(qiáng)化階段課程的主要內(nèi)容，但現(xiàn)在，同學(xué)們自己應(yīng)慢慢學(xué)會(huì)歸納)，這樣一來(lái)反饋學(xué)習(xí)效果更明顯，思路更清晰。一定要加強(qiáng)訓(xùn)練，做題鞏固，并注重邏輯性與敘述表述。

二、熟練基本運(yùn)算，提高運(yùn)算能力。

線性代數(shù)中運(yùn)算法則多，應(yīng)整理清楚不要混淆，基本運(yùn)算與基本方法要過(guò)關(guān)，重要的運(yùn)算有：行列式(數(shù)字型、抽象型)的計(jì)算，求逆矩陣，求矩陣的秩，求方陣的冪，求向量組的秩與極大線性無(wú)關(guān)組，線性相關(guān)的判定或求參數(shù)，求基礎(chǔ)解系，求非齊次線性方程組的通解，求特征值與特征向量(定義法，特征多項(xiàng)式基礎(chǔ)解系法)，判斷與求相似對(duì)角矩陣，用正交變換化實(shí)對(duì)稱矩陣為對(duì)角矩陣(亦即用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形)。

這里所說(shuō)的運(yùn)算能力包括速度和準(zhǔn)確率兩個(gè)方面，同學(xué)們經(jīng)常有這樣的體會(huì)，一張數(shù)學(xué)卷子發(fā)下來(lái)，題目都會(huì)做，都有思路，但是一做起來(lái)就漏洞百出，總有地方出錯(cuò)，結(jié)果時(shí)間自然不夠。歸根結(jié)底就是因?yàn)樽约浩綍r(shí)從來(lái)不練，看到一道題，先想思路，如果方法上沒有什么障礙的話就認(rèn)為不會(huì)有問(wèn)題了，其實(shí)事實(shí)上如果真的動(dòng)手去做很可能發(fā)現(xiàn)并非想象那么簡(jiǎn)單。我的建議是：書后習(xí)題不用全做，只做老師計(jì)劃中指定的題即可。其實(shí)線代的運(yùn)算方式只有行列式、初等變換和矩陣的乘法這三種基本計(jì)算，一定要練到熟得不能再熟，基本不出錯(cuò)的地步。運(yùn)算速度到后期顯得比較重要，因?yàn)闆_刺階段都是要整張卷子的做，這時(shí)不僅要分配好各部分題目的時(shí)間，而且要確保能在預(yù)計(jì)的時(shí)間里完成相應(yīng)的任務(wù)，否則會(huì)對(duì)個(gè)人的情緒產(chǎn)生影響。線代兩道大題，閱卷時(shí)發(fā)現(xiàn)，很少有不會(huì)動(dòng)筆的，但得滿分的卻不多。

三綜合分析思維，方法靈活多變。

由于考研數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)涉及面很廣，而一張卷子能考查的覆蓋面是有限的，那很自然會(huì)在綜合要求上有所提高，大家經(jīng)常發(fā)現(xiàn)線代的一道題可以覆蓋幾乎六章的內(nèi)容，而且可以用不同的方法解答。

學(xué)好線代最關(guān)鍵要點(diǎn)在于"見一反三"，即面對(duì)同一個(gè)數(shù)學(xué)事實(shí)，都要能夠從線性方程組、向量和矩陣三個(gè)角度來(lái)表述和理解它，以便于根據(jù)解決問(wèn)題的需要選擇合適的切入點(diǎn)。所以在基礎(chǔ)階段后期大家可以在老師的指導(dǎo)下有意識(shí)地訓(xùn)練自己的綜合分析思維，并逐步選做一些綜合性的習(xí)題，這樣大家就會(huì)逐步掌握做題的思路、方法、技巧。

相信大家通過(guò)以上階段的復(fù)習(xí)，并不斷地歸納總結(jié)，初步搞清知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系，就能逐步使所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，這就為強(qiáng)化階段的進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。