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考研數(shù)學(xué)學(xué)不會，要如何逆轉(zhuǎn)？

考研數(shù)學(xué) 來源：網(wǎng)絡(luò) 2018-06-19　

考研數(shù)學(xué)作為一門抽象類的學(xué)科，學(xué)起來往往是一知半解，久而久之考生就會對數(shù)學(xué)這一學(xué)科喪失信心。數(shù)學(xué)學(xué)不會，對考研初試中必考數(shù)學(xué)的同學(xué)是一大禁忌。關(guān)于數(shù)學(xué)，我們總是在機械的階梯，卻從未深入研究過，數(shù)學(xué)考察的是什么?也難怪你總是得不到考研數(shù)學(xué)的青睞了。

►我的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歷程及遇到的困難

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，到底會遇到什么樣的困難?以下是小編根據(jù)大家的評論總結(jié)的：

1.數(shù)學(xué)內(nèi)容抽象，看不懂。

2.知識點太多，記不住。

3.題目太難，遇到難題不會做。

4.找不到人討論，太枯燥。

因為大學(xué)的學(xué)習(xí)特點，不像高中，大家都學(xué)一樣的東西，然后按照同樣的節(jié)奏在走，所以遇到同樣的學(xué)科，還能討論一下。可是大學(xué)呢，找人討論都很困難，各忙各的，所以就顯得這個學(xué)習(xí)過程很枯燥。

5.時間太短，壓力大。

怎么時間太短了呢?從現(xiàn)在到考研只剩6個月時間，而這6個月也不是全部都給了數(shù)學(xué)，還有許多其他科目。其實計算下來也就沒有多久了。

有個朋友說，“眼睜睜看著老師把一道全是英文和希臘字母的題，最后解出的答案竟然是阿拉伯?dāng)?shù)字，直到現(xiàn)在還費解。”這些實際上是指高等數(shù)學(xué)比較抽象。

►數(shù)學(xué)到底是什么?

要讀懂高等數(shù)學(xué)，我們必然會問這樣一個問題，數(shù)學(xué)究竟是什么?以高等數(shù)學(xué)為例，大家在網(wǎng)上常常會看到這樣的所謂知識結(jié)構(gòu)圖。

在這副圖里面，把高等數(shù)學(xué)比喻成一棵大樹，函數(shù)是這棵大樹的根，我們高中的數(shù)學(xué)里面都已經(jīng)學(xué)過了，如反函數(shù)、奇偶函數(shù)的奇偶性、初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)等等;然后這棵大樹的主干是函數(shù)的極限，也就是我們高等數(shù)學(xué)的第一章，函數(shù)的極限。

在左邊，函數(shù)的極限生長出一個大的分支，叫做導(dǎo)數(shù)與微分。導(dǎo)數(shù)與微分首先涉及到中值定理，微分中值定理和中值定理的應(yīng)用。然后它又導(dǎo)向了第二個分支，多元函數(shù)的微分學(xué)，而函數(shù)的極限又引出了另外一個大的分支，叫做不定積分，不定積分一方面，引向定積分與定積分的應(yīng)用，另一方面又引向了常微分方程。這不是思維導(dǎo)圖做的，這就是直接在這棵大樹上面加上去的一些，用PPT就可以做出來。

像這樣的圖像對大家把握一門知識是有利的，但這樣的圖片也會造成一個誤導(dǎo)。導(dǎo)致我們把數(shù)學(xué)僅僅當(dāng)做知識來看待。因此產(chǎn)生了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的巨大的困難和障礙。因此學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的第一個誤區(qū)就出現(xiàn)了：把數(shù)學(xué)僅僅當(dāng)做知識來看待。

我們看看大數(shù)學(xué)家們是怎么看數(shù)學(xué)的。

比如這本書叫做《什么是數(shù)學(xué)》，副標(biāo)題是“對思想和方法的基本研究”，它的作者是柯朗。柯朗是20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，美國有一個世界聞名的柯朗研究所。很多大科學(xué)家對這本書有高度的贊譽，比如愛因斯坦說，“本書是對整個數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的基本概念及方法的透徹清晰的闡述”;愛因斯坦的好朋友，韋爾是20世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)物理學(xué)家，他稱贊，“這是一本非常完美的著作，被數(shù)學(xué)家們視作科學(xué)的鮮血的一切基本思路和方法。在《什么是數(shù)學(xué)》這本書中，用最簡單的例子，使之清晰明了，已經(jīng)達到了令人驚訝的程度”。

看到愛因斯坦和韋爾評價這本書的話，我們都很想去讀一讀這本書究竟在講什么，但是如果大家去看這本書，多數(shù)人會感到失望。

為什么會失望呢?是因為這本書里面進的東西，我們看起來似乎很簡單，比我們教科書的內(nèi)容還要簡單一些。那為什么這樣一本書會受到如此高度的贊譽?實際上這本書看似內(nèi)容并不復(fù)雜，但是它卻告訴了我們一件事，那就是數(shù)學(xué)究竟是什么?它的答案就是：數(shù)學(xué)的本質(zhì)是思維技能!

我們看一看，高等數(shù)學(xué)的所有部分都貫穿著同樣的思維結(jié)構(gòu)。

►這個思維結(jié)構(gòu)是什么?

就是從問題引入定義，這個定義一般會對應(yīng)著幾何直觀;然后定義又引入定義的性質(zhì)，比如導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，極限的性質(zhì)等，另外，定義包含著運算，比如導(dǎo)數(shù)，從導(dǎo)數(shù)的定義直接就可以推出運算法則。然后從定義和運算法則和性質(zhì)，會推出一系列的定理，這些定理在各個復(fù)雜的數(shù)學(xué)情形中進行應(yīng)用，乃至應(yīng)用于其他的領(lǐng)域，包括物理學(xué)，經(jīng)濟學(xué)，生物學(xué)等等。

這里關(guān)鍵在于所有的數(shù)學(xué)分支都是這么同樣的一個結(jié)構(gòu)，幾乎是完全相同的，大家看看這個說法是不是有道理，大家回憶一下，是不是高數(shù)的所有分支都是這樣一個同樣的結(jié)構(gòu)。

如果我們把高等數(shù)學(xué)的本質(zhì)當(dāng)做思維技能來看待，我們立即能回答很多問題，比如說為什么平時做題不錯，而考研成績卻不佳，其實最重要的原因是把數(shù)學(xué)僅僅當(dāng)做知識來學(xué)，因為考研的時候，就它不會考同樣的題目。題型還會變動，我們的記憶是會波動的，如果我們著眼于這個思維技能，我們就會發(fā)現(xiàn)，技能比知識的記憶要穩(wěn)定得多，技能比知識的記憶要快得多，技能往往是一種自動化的東西，而知識需要想半天。

我們從一個正面的例子來看，有一位考生，他在考研過程中感冒，前兩科就感冒，考到數(shù)學(xué)的時候還感冒，結(jié)果他數(shù)學(xué)還是考了143分，考的是數(shù)學(xué)一，他用的參考書全是2013版的，本來是2014年考研，應(yīng)該用2014年版的參考書，但是他用的2013版的。為什么他能夠做到這一點，實際上數(shù)學(xué)在他大腦中，變成了這個思維的技能。

可能很多人仍然不理解：數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)的思維技能究竟有什么差別?

舉一個例子，看過一萬遍鋼琴譜的人會彈鋼琴嗎?甚至彈過一萬遍1234567的人，能彈好曲子嗎?顯然不一定啊。所以當(dāng)我們?nèi)W(xué)數(shù)學(xué)的時候，我們看許多遍書，不一定有效。看許多遍視頻，也不一定有效，即便是練過許多題目，也不一定有效，因為這么做的人多了，考的成績不理想的。這么做的人，考的成績不理想的人，比比皆是。

那么什么才是核心?什么才是關(guān)鍵?

最核心的是訓(xùn)練數(shù)學(xué)的思維。

►數(shù)學(xué)思維

當(dāng)我們看書的時候，當(dāng)我們看視頻的時候，當(dāng)我們練習(xí)題目的時候，如果我們關(guān)注的是如何訓(xùn)練自己的數(shù)學(xué)思維，這樣才會產(chǎn)生效果。這種訓(xùn)練會訓(xùn)練出一種思維技能，數(shù)學(xué)的思維技能，而這種技能是貫穿于數(shù)學(xué)的所有分支，所有部分的。

這種技能甚至還可以遷移到其他領(lǐng)域，如果我們把數(shù)學(xué)看作思維技能的話，立刻可以理解為什么數(shù)學(xué)成績很突出的人，反而不去記很多東西?就像我剛才講的那位師弟，在黑板上出一道積分的題目，我們來出題，我們在那討論，他站在那30秒鐘直接報了個答案。他就是這種類型的人，他不會記很多的數(shù)學(xué)知識，但他卻能迅速解題。為什么?因為他們必要的時候可以推導(dǎo)出來，把公式推導(dǎo)出來，這些知識在他們大腦中是一個有機的記憶，甚至是自動化的。

數(shù)學(xué)思維的精髓究竟是什么?

愛因斯坦在《物理學(xué)的進化》開篇就講，“提出一個問題，往往比解決一個問題更為重要，因為解決一個問題，也許是一個數(shù)學(xué)上或?qū)嶒炆系募记桑岢鲂碌膯栴}，新的可能性，從新的角度看舊問題，卻需要創(chuàng)造性的想象力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進步。”

這段話用來描述我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，同樣恰當(dāng)。可以這么說，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)歷程中，提出一個問題往往比解決一個問題更為重要，因為解決一個問題，也許是一個數(shù)學(xué)上的技巧，而提出新的問題，新的可能性，從新的角度看舊問題，卻需要創(chuàng)造性的想象力，而且標(biāo)志著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的真正進步。

►數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的九個境界

數(shù)學(xué)精深訓(xùn)練有九個臺階。

第一個臺階是能看懂。

第二個臺階是能記住;

第三個臺階是會解題;

什么是能看懂?能看懂，就是能夠懂得數(shù)學(xué)定義，定理，公式的來龍去脈。一看到這個定理、公式，腦子里面盤旋的一些問題，我們一一找到答案，我們要從內(nèi)心里面去回答，那么找到的答案越多，做出來的問答越多，我們就懂得的越多，這就是能看懂的含義。

往往是這一步，使得很多人難以入門，一旦我們做到這一點的話，我們馬上就邁上了第一個臺階，邁上第一個臺階之后，能記住會解題，只要我們把那些最基本的東西給做出來，做一遍，親自動手去算一遍，那么我們馬上就會跨過第二個、第三個臺階。

這樣的話，考一個及格的分?jǐn)?shù)就不成問題了。有不少人把高數(shù)的考研目標(biāo)定為90分，實際上做完剛才所說的這些，每一章，每一節(jié)都這么去做的話，考90分根本不成問題。

第四個臺階是熟練解題;

在解題的過程中不斷地進行這樣的有意識的思維操作的訓(xùn)練，那么熟練解題也為之不遠(yuǎn)了。

第五個臺階是會梳理;

什么是會梳理?剛才已經(jīng)給大家分享了數(shù)學(xué)的基本結(jié)構(gòu)是什么?每一章都在重復(fù)同樣的基本結(jié)構(gòu)，把那些知識點都給匯總到這個知識結(jié)構(gòu)里面，就是會梳理。包括我們每一章都在用什么樣的運算技巧?大家心里面有沒有數(shù)，這一章我們會用到什么，什么樣的運算技巧，能不能1、2、3、4、5、6、7、8，這么列出來，一是一、二是二的列出來，如果這么做了，那肯定是會梳理了。

第六個臺階是融會貫通;

什么是融會貫通?比如導(dǎo)數(shù)，是從什么問題引入的?導(dǎo)數(shù)的定義，它的嚴(yán)格的定義是什么?它對應(yīng)的幾何直觀是什么?導(dǎo)數(shù)怎么推出導(dǎo)數(shù)的四則運算法則?導(dǎo)數(shù)的定義和運算法則又有什么用?能解什么樣的題目?如果我們一步步這么做下來的話，那就是融會貫通了，對這一章，這一節(jié)融匯貫通了。

第七個臺階是把握數(shù)學(xué)思維;

什么是把握數(shù)學(xué)思維?所謂的數(shù)學(xué)思維就是一個一個的基本的思維操作，像加、減、乘、除法，各種類型的加、減、乘、除法，像加一項、減一項，像它的定義，為什么會有這樣的定義?它的問題是什么?這個定義能解決什么問題?當(dāng)我們提這些問題，去找它的答案的時候，按照這樣的思維去訓(xùn)練的時候，我們就把握數(shù)學(xué)思維了。

第八個臺階是體驗學(xué)習(xí)的樂趣;

一旦我們做到前面這幾步的話，那數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)自然就有樂趣，設(shè)想一下，我們面對一塊黑板或者一張白紙，我們從導(dǎo)數(shù)的定義開始做起，一下就把這一套全都寫下來了，不用看參考書，從導(dǎo)數(shù)的定義一直推出這個導(dǎo)數(shù)的運算法則，解出一些基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后解出更復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。這里面能沒有樂趣嗎?當(dāng)然有樂趣了。而且我們回答了心中的一個又一個的問題，而這些問題呢，它不但可以提高成績，還可以跟其他人來交流，給其他人帶來啟發(fā)。

第九個臺階是能夠投入，忘我的學(xué)習(xí)。

達到第八個臺階就很容易到達第九個臺階了，就是樂此不疲，我們稱之為心流，flow。我們這樣子學(xué)習(xí)三個小時的數(shù)學(xué)，感覺時間才過了半個小時一樣。

四、五、六、這個臺階邁上去，那么我們數(shù)學(xué)考個優(yōu)秀的成績，考個120分，就不是問題了，如果我們到達了這七、八、九，這三個境界，那么考更高的成績，像我剛才那個師弟講的，考130分，140多分，那就是完全有可能的了，因為你都覺得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都不是負(fù)擔(dān)了，不是障礙了，不是痛苦而是享受了，解道難題會帶來巨大的樂趣啊。

►讀不懂?dāng)?shù)學(xué)怎么辦?

1.我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，必定需要扎實的基本功，這個基本功是什么?

就是剛才講的那個基本的思維技能，但可惜的是許多人不曾掌握這個思維技能，甚至都沒有意識到，我們在做數(shù)學(xué)的過程中，在不斷進行同樣的思維操作，那個思維操作就是：基本的問答，不斷在做問答，不斷地在做加、減、乘、除法，不斷地在從問題到定義，到定義的性質(zhì)，到運算法則，到定理，到定理的應(yīng)用去解題目，不斷地在進行這樣的或大或小的思維操作，這些思維操作，就是數(shù)學(xué)思維的基本的技能，也就是我們學(xué)數(shù)學(xué)的基本功。

2.任何技能的學(xué)習(xí)，任何技能的掌握，必定是先慢后快

著名數(shù)學(xué)家小平邦彥，在一開始讀不懂?dāng)?shù)學(xué)時，選擇了抄書，他把一整本書完完整整的抄了一遍。但如果他一本本地去抄，當(dāng)?shù)珨?shù)學(xué)的文獻浩如煙海，經(jīng)典著作多得不得了，他如果都是這么慢慢的抄的話，那得抄到何年何月?正因為他抄的過程中，他不斷地去熟悉和訓(xùn)練自己的思維技能，任何數(shù)學(xué)分支都有同樣的結(jié)構(gòu)，一旦熟悉這個技能，那就熟能生巧了。

反之，一旦我們前面的東西沒掌握，認(rèn)為它很簡單，認(rèn)為它很顯然，認(rèn)為它不值得一做，很可能在遇到那個考研題目的時候，我們都沒有解題思路，甚至有解題思路，我們做不對，做不出來，

3.不要糾結(jié)于有沒有天資，除非努力過。

即便是數(shù)學(xué)家，他們學(xué)數(shù)學(xué)的初期，仍然遇到很大的困難，我們在學(xué)高數(shù)的過程中，遇到困難的時候，看不懂的時候，題目做不出來的時候，經(jīng)常會自我懷疑，是不是我數(shù)學(xué)真的就不行啊?我沒有數(shù)學(xué)思維啊?

不是，不是那樣子的。認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)的研究表明，我們天生下來就有數(shù)學(xué)思維。嚴(yán)格的論證，之后跟大家來分享一下。不要再糾結(jié)這個問題了，除非我們努力過。連這樣的數(shù)學(xué)家都做過這樣的努力，那我們，我們問問自己，我們有沒有做過這個與之相，相當(dāng)?shù)倪@個努力。

4.“如果世界上有奇跡，那只不過是努力的代名詞”

我們能解一道題目，中等難度的題目，只不過是由那些基本的知識點，那些基本的思維操作所導(dǎo)出來的。一道更難的題目也是一樣的，我們解了一道很難的題目，會感到驕傲，感到是個奇跡，那只不過是我們以前以往點點滴滴的努力累積出來的，就是像積分一樣，一點一點的積累出來的。

5.沒有絕對懂與不懂，關(guān)鍵是我今天有沒有懂得更多。

我今天懂了多少，我今天究竟懂了什么?我今天找到了哪些問題的答案，這是關(guān)鍵。包括我們在做一道題目的時候，我做錯了，做錯的話，我有什么收獲?我做對了，也要問自己究竟收獲了多少?一是一，二是二，三是三，我們有沒有這么去做?這樣做非常關(guān)鍵。