2019考研數學：從等差數列和等比數列出發解決級數問題

• 2025考研復試伴學班
• 2025考研復試標準班
• 2026考研英語全程班
• 26考研全科上岸規劃營「擇校▪規劃▪備考」
• 2025考研專業課復習資料「真題▪筆記▪講義▪題庫」

等差數列?等比數列?似乎是高中數學的重點，怎么高等數學也有這個知識點呢，那你可要反思一下自己了，等差等比數列在級數方面都是有很大用處的，今天就帶你學習一下久違的等差、等比數列!

1、等差數列

Sn=n(a1+an)/2或Sn=[2na1+n(n-1)d]/2注：an=a1+(n-1)d

轉換過程：Sn=n(a1+an)/2=n{a1+[a1+(n-1)d]}/2=n[2a1+(n-1)d]/2=[2na1+n(n-1)d]/2

2、等比數列

Sn=n*a1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)(q≠1)(n為比值，a為項數)

你知道這兩個就證明冪級數，你學的是一點問題都沒有了。那現在問題是你不知道為什么要逐項求導和逐項積分了?

聽好了，以前初等數學就是用一些初等變換去對式子變形——比如把原式變成兩個等比或者等差數列，然后用等比等差數列求和公式求出原式的N項和。

現在高等數學就不好搞了，就不能用一些初等變換(比如分母有理化，比如分子加一減一等等)的方式去分成幾項有規律的數列了，那么，我們現在怎么辦?要回到高中我們就只有求神了。

但是，當我們現在學了高等數學后，我們就可以通過求導或者積分的方式把他變成我們所了解的等比和等差數列了，那多爽，是吧!通過求導就回到高中!

不要去想什么逐項求導和逐項積分亂七八糟的，其實就是對通項求導或者積分。

先說求導：目的就是把我們不論用初等數學怎么變化都不能變成等比數列的式子變成等比數列!

注意觀察：例如：S(X)=∑(2~無窮){[(-1)^n][x^(n-1)]/n-1}這個式子你用高中的方法去分成幾項等比數列嘛，你一定會很悲劇的。通過觀察：求一次導x^(n-1)的導數不就是(n-1)[x^(n-2)]，分子的n-1不是可以和分母的n-1約掉啊!(注意了哈：逐項求導說的十分猥瑣，其實就是對∑(2~無窮){[(-1)^n][x^(n-1)]/n-1}求導)

求導你要這樣想n是常數，X是變量，對X求導(其實N就是常數，我怕你搞錯了，我現在沒有辦法知道你的基礎，所以當高中生在教)。

求導以后的數列變成∑(2~無窮){[(-1)^n][x^(n-2)]，求了導之后你展開：把N=2帶進去等于1把N等于3帶進去等于(-X)把N等于4帶進去等于(X^2)把5帶進去等于(-x^3).......發現沒有，求導之后的通項居然是個q=(-x)a1=1的等比數列!那我們的目的達到了!

這個等比數列的求和公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q)得：1/(1+x)|x|<1才收斂哈!不然考試不寫|x|<1要扣粉的哈!求導之后的通項的和我們求到了1/(1+x)|x|<1那是不是我們要積分一次才是原來的題目啊!求導和積分是逆運算的嘛!S(X)=S(0)+1/(1+T)求積分(從0到X)=ln(1+x)|x|<1

其實求導的目的就是把式子變成我們可以處理的等比數列，再求和，最后把和積分回來就對了，說的這樣深邃!

再說為什么要積分：目的還是把式子變成我們可以處理的等比數列!什么逐項積分!說的太猥瑣了，其實就是對通項積分，把式子能展開成等比數列就對了!NND不說猥瑣點難道就體現不出編教材的人的水平嗎?看著啊，我現在就按照同濟教材的立體為例子：給你玩一下：∑(1~無窮)n(x^n-1)

解：S(x)=∑(1~無窮)n(x^n-1)的和函數仔細觀察：(x^n-1)積分是不是分母出現了n，正好和分子的n越掉。直接對)∑(1~無窮)n(x^n-1)積分哈~~~不要考慮什么逐項積分，從此你就當沒有聽過逐項積分這種說法。

積分后就變成∑(x^n)，原式是沒有辦法處理的，但是有了這個式子之后，展開把N=(1、2、3、4。。。。)帶入就發現是個很標準的q=x的等比數列了。這個等比數列求和為：x/(1-x)。x/(1-x)是積分后的和哈，那要求原來的和簡單嘛，求一次導就對了：1/[1-x)^2]

►總結：原式我不能處理怎么辦，求導或者積分后變成等比數列，我求和，求完了積分或者求導回去就對了!

注意：不光是處理成等比數列!那是在高中!現在給你增加幾個數列!說白了，你只要通過求導或者積分后變成這些數列都是可以求和的，記得再變回去!e^x

=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+...ln(1+x)=x-x^2/3+x^3/3-...(-1)^(k-1)*x^k/k+...(|x|<1)sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-...(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+...(-∞

求導或者積分后你要展開觀察是什么數列，只要是等號右邊的東西，你就直接得到他的和是等號左邊了，再記得變回去!