2019年中國科學院大學811量子力學考研初試大綱

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中國科學院大學碩士研究生入學考試

《量子力學》考試大綱

本《量子力學》考試大綱適用于中國科學院大學物理學相關各專業(yè)(包括理論與實驗類)碩士研究生的入學考試。本科目考試的重點是要求熟練掌握波函數(shù)的物理解釋，薛定諤方程的建立、基本性質(zhì)和精確的以及一些重要的近似求解方法，理解這些解的物理意義，熟悉其實際的應用。掌握量子力學中一些特殊的現(xiàn)象和問題的處理方法，包括力學量的算符表示、對易關系、不確定度關系、態(tài)和力學量的表象、電子的自旋、粒子的全同性、泡利原理、量子躍遷及光的發(fā)射與吸收的半經(jīng)典處理方法等，并具有綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力。

一. 考試內(nèi)容：

(一) 波函數(shù)和薛定諤方程

波粒二象性，量子現(xiàn)象的實驗證實。波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋，薛定諤方程，連續(xù)性方程， 波包的演化。能量本征值方程，定態(tài)與非定態(tài)。態(tài)疊加原理，測量與波包的塌縮。

(二) 一維勢場中的粒子

一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)，一維方勢阱的束縛態(tài)，方勢壘的穿透，方勢阱中的反射、透射與共振。 d-勢的穿透和d-勢阱中的束縛態(tài)，一維諧振子。

(三) 力學量用算符表示

各種算符的定義及算符的運算規(guī)則。 厄米算符的本征值與本征函數(shù)。不確定關系，共同本征函數(shù)，對易力學量的完全集。箱歸一化，連續(xù)本征函數(shù)的歸一化。力學量平均值隨時間的演化，量子力學的守恒量。波包的運動，Ehrenfest 定理。薛定諤-圖像與海森伯-圖像。

(四) 中心力場和電磁場中粒子的運動

兩體問題化為單體問題，球對稱勢和徑向方程，自由粒子和球形方勢阱，三維諧振子，氫原子及類氫離子。電磁場中的薛定諤方程，電磁場的規(guī)范不變性。正常Zeeman效應，Landau能級。

(五) 量子力學的矩陣表示與表象變換

態(tài)和算符的矩陣表示，表象變換，狄拉克符號，一維諧振子的占有數(shù)表象。

(六) 自旋及角動量的耦合

電子自旋態(tài)與自旋算符，總角動量的本征態(tài)，堿金屬原子光譜的雙線結構與反常塞曼效應，自旋單態(tài)與三重態(tài)，光譜線的精細和超精細結構，自旋糾纏態(tài)。角動量的本征值與本征態(tài)，兩個角動量的耦合，耦合表象及無耦合表象基矢。

(七) 定態(tài)問題的近似方法

定態(tài)非簡并微擾輪，定態(tài)簡并微擾輪，變分法。

(八) 量子躍遷

量子態(tài)隨時間的演化，突發(fā)微擾與絕熱微擾， 周期微擾和有限時間內(nèi)的常微擾，光的吸收與輻射的半經(jīng)典理論。

(九) 多體問題

全同粒子系統(tǒng)，氦原子，氫分子。

二.考試要求：

(一)波函數(shù)和薛定諤方程

1.了解波粒二象性假設的物理意義及其主要實驗事實。

2.熟練掌握波函數(shù)的標準化條件：有限性、連續(xù)性和單值性。深入理解波函數(shù)的概率解釋。

3.理解態(tài)疊加原理以及任何波函數(shù)按不同動量的平面波展開的方法及其物理意義。

4.熟練掌握薛定諤方程的建立過程。深入了解定態(tài)薛定諤方程，定態(tài)與非定態(tài)波函數(shù)的意義及相互關系。了解連續(xù)性方程的推導及其物理意義。

(二)一維勢場中的粒子

1.熟練掌握一維薛定諤方程邊界條件的確定和處理方法。

2.熟練掌握一維無限深方勢阱的求解方法及其物理討論，掌握一維有限深方勢阱束縛態(tài)問題的求解方法。

3.熟練掌握勢壘貫穿的求解方法及隧道效應的解釋。掌握一維有限深方勢阱的反射、透射的處理方法及共振現(xiàn)象的發(fā)生。

4.熟練掌握一維諧振子的能譜及其定態(tài)波函數(shù)的一般特點及其應用。

5.了解d--函數(shù)勢的處理方法。

( 三)力學量用算符表示

1. 掌握算符的本征值和本征方程的基本概念。

2.熟練掌握厄米算符的基本性質(zhì)及相關的定理。

3.熟練掌握坐標算符、動量算符以及角動量算符，包括定義式、相關的對易關系及本征值和本征函數(shù)。

4.熟練掌握力學量取值的概率及平均值的計算方法。理解兩個力學量同時具有確定值的條件和共同本征函數(shù)。

5.熟練掌握不確定度關系的形式、物理意義及其一些簡單的應用。

6.理解力學量平均值隨時間變化的規(guī)律。掌握如何根據(jù)哈密頓算符來判斷該體系的守恒量。

(四)中心力場

1.熟練掌握兩體問題化為單體問題及分離變量法求解三維庫侖勢問題。

2.熟練掌握氫原子和類氫離子的能譜及基態(tài)波函數(shù)以及相關的物理量的計算。

3.了解球形無窮深方勢阱及三維各向同性諧振子的基本處理方法。

(五) 量子力學的矩陣表示與表象變換

1.理解力學量所對應的算符在具體表象的矩陣表示。

2.了解表象之間幺正變換的意義和基本性質(zhì)。

3.掌握量子力學公式的矩陣形式及求解本征值、本征矢的矩陣方法。

4.了解狄拉克符號的意義及基本應用。

5.熟練掌握一維簡諧振子的代數(shù)解法和占有數(shù)表象。

(六) 自旋

1.了解斯特恩—蓋拉赫實驗。電子自旋回轉磁比率與軌道回轉磁比率。

2.熟練掌握自旋算符的對易關系和自旋算符的矩陣形式(泡利矩陣)、與自旋相聯(lián)系的測量值、概率和平均值等的計算以及其本征值方程和本征矢的求解方法。

3.了解電磁場中的薛定諤方程和簡單塞曼效應的物理機制。

4.了解自旋-軌道藕合的概念、總角動量本征態(tài)的求解及堿金屬原子光譜的精細和超精細結構。

5. 熟練掌握自旋單態(tài)與三重態(tài)求解方法及物理意義，了解自旋糾纏態(tài)概念。

(七)定態(tài)問題的近似方法

1.了解定態(tài)微擾論的適用范圍和條件。

2.掌握非簡并的定態(tài)微擾論中波函數(shù)一級修正和能級一級、二級修正的計算。

3.掌握簡并微擾論零級波函數(shù)的確定和一級能量修正的計算。

4.掌握變分法的基本應用。

(八)量子躍遷

1.了解量子態(tài)隨時間演化的基本處理方法。掌握量子躍遷的基本概念。

2.了解突發(fā)微擾、絕熱微擾及周期微擾和有限時間內(nèi)的常微擾的躍遷概率計算方法。

3.了解光的吸收與輻射的半經(jīng)典理論，特別是選擇定則的定義及其作用。

4.了解氫原子一級斯塔克效應及其解釋。

(九)多體問題

1.了解量子力學全同性原理及其對于多體系統(tǒng)波函數(shù)的限制。

2.了解費米子和波色子的基本性質(zhì)和泡利原理。

3.了解氦原子及氫分子的基本近似求解方法以及解的物理討論。

三.主要參考書目：

《量子力學教程 》 曾謹言著(科學出版社 2003年第1版)。