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2019年中國科學(xué)院大學(xué)601高等數(shù)學(xué)（甲）考研初試大綱

中國科學(xué)院大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試

高等數(shù)學(xué)(甲)考試大綱

考試性質(zhì)

中國科學(xué)院大學(xué)碩士研究生入學(xué)高等數(shù)學(xué)(甲)考試是為招收理學(xué)非數(shù)學(xué)專業(yè)碩士研究生而設(shè)置的選拔考試。它的主要目的是測試考生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，包括對高等數(shù)學(xué)各項(xiàng)內(nèi)容的掌握程度和應(yīng)用相關(guān)知識解決問題的能力。考試對象為參加全國碩士研究生入學(xué)考試、并報(bào)考理論物理、原子與分子物理、粒子物理與原子核物理、等離子體物理、凝聚態(tài)物理、天體物理、天體測量與天體力學(xué)、空間物理學(xué)、光學(xué)、物理電子學(xué)、微電子與固體電子學(xué)、電磁場與微波技術(shù)、物理海洋學(xué)、海洋地質(zhì)、氣候?qū)W等專業(yè)的考生。

考試的基本要求

要求考生系統(tǒng)地理解高等數(shù)學(xué)的基本概念和基本理論，掌握高等數(shù)學(xué)的基本方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)的知識分析問題和解決問題的能力。

考試方法和考試時(shí)間

高等數(shù)學(xué)(甲)考試采用閉卷筆試形式，試卷滿分為150分，考試時(shí)間為180分鐘。

四、考試內(nèi)容和考試要求

(一)函數(shù)、極限、連續(xù)

考試內(nèi)容

函數(shù)的概念及表示法函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù) 基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形

數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念無窮小和無窮大的概念及其關(guān)系無窮小的性質(zhì)及無窮小的比較極限的四則運(yùn)算極限存在的單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限：

函數(shù)連續(xù)的概念函數(shù)間斷點(diǎn)的類型初等函數(shù)的連續(xù)性閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù)的一致連續(xù)性概念

考試要求

1. 理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，并會建立簡單應(yīng)用問題中的函數(shù)關(guān)系式。

2. 理解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性。掌握判斷函數(shù)這些性質(zhì)的方法。

3. 理解復(fù)合函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。會求給定函數(shù)的復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)。

4. 掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。

5. 理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關(guān)系。

6. 掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則，會運(yùn)用它們進(jìn)行一些基本的判斷和計(jì)算。

7. 掌握極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會利用它們求極限。掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法。

8. 理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價(jià)無窮小求極限。

9. 理解函數(shù)連續(xù)性的概念(含左連續(xù)與右連續(xù))，會判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。

10. 掌握連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，熟悉閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性、最大值和最小值定理、介值定理等)，并會應(yīng)用這些性質(zhì)。

11.理解函數(shù)一致連續(xù)性的概念。

(二)一元函數(shù)微分學(xué)

考試內(nèi)容

導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系平面曲線的切線和法線基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法高階導(dǎo)數(shù)的概念高階導(dǎo)數(shù)的求法微分的概念和微分的幾何意義函數(shù)可微與可導(dǎo)的關(guān)系微分的運(yùn)算法則及函數(shù)微分的求法一階微分形式的不變性微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用微分中值定理洛必達(dá)(L’Hospital)法則泰勒(Taylor)公式函數(shù)的極值函數(shù)最大值和最小值函數(shù)單調(diào)性函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線函數(shù)圖形的描繪弧微分及曲率的計(jì)算

考試要求

1. 理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，掌握函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。

2. 掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式。了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分。

3. 了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。

4. 會求分段函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)。

5. 會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)

6. 會求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

7. 理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理。

8. 理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡單應(yīng)用。

9. 會用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數(shù)的圖形。

10. 掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法。

11.了解曲率和曲率半徑的概念，會計(jì)算曲率和曲率半徑。

(三)一元函數(shù)積分學(xué)

考試內(nèi)容

原函數(shù)和不定積分的概念不定積分的基本性質(zhì) 基本積分公式定積分的概念和基本性質(zhì) 定積分中值定理變上限定積分定義的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 牛頓-萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡單無理函數(shù)的積分廣義積分(無窮限積分、瑕積分) 定積分的應(yīng)用

考試要求

1. 理解原函數(shù)的概念，理解不定積分和定積分的概念。

2. 熟練掌握不定積分的基本公式，熟練掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及定積分中值定理。掌握牛頓-萊布尼茨公式。熟練掌握不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法。

3. 會求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡單無理函數(shù)的積分。

4. 理解變上限定積分定義的函數(shù)，會求它的導(dǎo)數(shù)。

5. 理解廣義積分(無窮限積分、瑕積分)的概念，掌握無窮限積分、瑕積分的收斂性判別法，會計(jì)算一些簡單的廣義積分。

6. 掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力)及函數(shù)的平均值。

(四)向量代數(shù)和空間解析幾何

考試內(nèi)容

向量的概念向量的線性運(yùn)算向量的數(shù)量積、向量積和混合積兩向量垂直、平行的條件兩向量的夾角向量的坐標(biāo)表達(dá)式及其運(yùn)算單位向量方向數(shù)與方向余弦曲面方程和空間曲線方程的概念平面方程、直線方程平面與平面、平面與直線、直線與直線的夾角以及平行、垂直的條件點(diǎn)到平面和點(diǎn)到直線的距離球面母線平行于坐標(biāo)軸的柱面旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程常用的二次曲面方程及其圖形空間曲線的參數(shù)方程和一般方程空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線方程

考試要求

1. 熟悉空間直角坐標(biāo)系，理解向量及其模的概念。

2. 熟練掌握向量的運(yùn)算(線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積)，掌握兩向量垂直、平行的條件。

3. 理解向量在軸上的投影，了解投影定理及投影的運(yùn)算。理解方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式，會用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量的運(yùn)算。

4. 熟悉平面方程和空間直線方程的各種形式，熟練掌握平面方程和空間直線方程的求法。

5. 會求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會利用平面、直線的相互關(guān)系(平行、垂直、相交等)解決有關(guān)問題。

6. 會求空間兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離以及點(diǎn)到平面的距離。

7. 了解空間曲線方程和曲面方程的概念。

8. 了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程。了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影，并會求其方程。

9. 了解常用二次曲面的方程、圖形及其截痕，會求以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程。

(五)多元函數(shù)微分學(xué)

考試內(nèi)容

多元函數(shù)的概念二元函數(shù)的幾何意義二元函數(shù)的極限和連續(xù) 有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念及求法全微分存在的必要條件和充分條件多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法高階偏導(dǎo)數(shù)的求法空間曲線的切線和法平面曲面的切平面和法線方向?qū)?shù)和梯度二元函數(shù)的泰勒公式多元函數(shù)的極值和條件極值拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡單應(yīng)用全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用

考試要求

1. 理解多元函數(shù)的概念、理解二元函數(shù)的幾何意義。

2. 理解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念及基本運(yùn)算性質(zhì)，了解二元函數(shù)累次極限和極限的關(guān)系會判斷二元函數(shù)在已知點(diǎn)處極限的存在性和連續(xù)性了解有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

3. 理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念了解二元函數(shù)可微、偏導(dǎo)數(shù)存在及連續(xù)的關(guān)系，會求偏導(dǎo)數(shù)和全微分，了解二元函數(shù)兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)相等的條件了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性。

4. 熟練掌握多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法。

5. 熟練掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法則。

6. 理解方向?qū)?shù)與梯度的概念并掌握其計(jì)算方法。

7. 理解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程。

8. 了解二元函數(shù)的二階泰勒公式。

9. 理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會求二元函數(shù)的極值，會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會求簡單多元函數(shù)的最大值、最小值，并會解決一些簡單的應(yīng)用問題。

10. 了解全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用

(六)多元函數(shù)積分學(xué)

考試內(nèi)容

二重積分、三重積分的概念及性質(zhì) 二重積分與三重積分的計(jì)算和應(yīng)用兩類曲線積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算兩類曲線積分之間的關(guān)系格林(Green)公式平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件已知全微分求原函數(shù) 兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算兩類曲面積分之間的關(guān)系高斯(Gauss)公式斯托克斯(Stokes)公式散度、旋度的概念及計(jì)算曲線積分和曲面積分的應(yīng)用

考試要求

1. 理解二重積分、三重積分的概念，掌握重積分的性質(zhì)。

2. 熟練掌握二重積分的計(jì)算方法(直角坐標(biāo)、極坐標(biāo))，會計(jì)算三重積分(直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo))，掌握二重積分的換元法。

3. 理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系。熟練掌握計(jì)算兩類曲線積分的方法。

4. 熟練掌握格林公式，會利用它求曲線積分。掌握平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件。會求全微分的原函數(shù)。

5. 理解兩類曲面積分的概念，了解兩類曲面積分的性質(zhì)及兩類曲面積分的關(guān)系。熟練掌握計(jì)算兩類曲面積分的方法。

6. 掌握高斯公式和斯托克斯公式，會利用它們計(jì)算曲面積分和曲線積分。

7. 了解散度、旋度的概念，并會計(jì)算。

8. 了解含參變量的積分和萊布尼茨公式。

9. 會用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、曲面的面積、物體的體積、曲線的弧長、物體的質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動慣量、引力、功及流量等)。

(七)無窮級數(shù)

考試內(nèi)容

常數(shù)項(xiàng)級數(shù)及其收斂與發(fā)散的概念收斂級數(shù)的和的概念級數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件幾何級數(shù)與p級數(shù)及其收斂性正項(xiàng)級數(shù)收斂性的判別法交錯(cuò)級數(shù)與萊布尼茨定理任意項(xiàng)級數(shù)的絕對收斂與條件收斂函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域、和函數(shù)的概念冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間(指開區(qū)間)和收斂域冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì) 簡單冪級數(shù)的和函數(shù)的求法泰勒級數(shù) 初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式函數(shù)的冪級數(shù)展開式在近似計(jì)算中的應(yīng)用函數(shù)的傅里葉(Fourier)系數(shù)與傅里葉級數(shù) 狄利克雷(Dirichlet)定理函數(shù)在[-l，l]上的傅里葉級數(shù) 函數(shù)在[0，l]上的正弦級數(shù)和余弦級數(shù)。函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性。

考試要求

1. 理解常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件

2. 掌握幾何級數(shù)與p級數(shù)的收斂與發(fā)散情況。

3. 熟練掌握正項(xiàng)級數(shù)收斂性的各種判別法。

4. 熟練掌握交錯(cuò)級數(shù)的萊布尼茨判別法。

5. 理解任意項(xiàng)級數(shù)的絕對收斂與條件收斂的概念，以及絕對收斂與條件收斂的關(guān)系。

6. 了解函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。

7. 理解冪級數(shù)的收斂域、收斂半徑的概念，并掌握冪級數(shù)的收斂半徑及收斂域的求法。

8. 了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)積分)，會求一些冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會由此求出某些數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和。

9. 了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件。

10. 掌握一些常見函數(shù)如ex、sin x、cos x、ln(1+x)和(1+x)α等的麥克勞林展開式，會用它們將一些簡單函數(shù)間接展開成冪級數(shù)。

11. 會利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式進(jìn)行近似計(jì)算。

12.了解傅里葉級數(shù)的概念和狄利克雷定理，會將定義在[-l，l]上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)，會將定義在[0，l]上的函數(shù)展開為正弦級數(shù)與余弦級數(shù)，會將周期為2l的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)。

13. 了解函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性及一致收斂的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì)，會判斷函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性。

(八)常微分方程

考試內(nèi)容

常微分方程的基本概念變量可分離的微分方程齊次微分方程一階線性微分方程伯努利(Bernoulli)方程全微分方程可用簡單的變量代換求解的某些微分方程可降價(jià)的高階微分方程線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性微分方程高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程歐拉(Euler)方程微分方程的冪級數(shù)解法簡單的常系數(shù)線性微分方程組的解法微分方程的簡單應(yīng)用

考試要求

1. 掌握微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念。

2. 熟練掌握變量可分離的微分方程的解法，熟練掌握解一階線性微分方程的常數(shù)變易法。

3. 會解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變量代換求解某些微分方程。

4. 會用降階法解下列方程：y(n) =f(x)，y″ =f(x，y′ )和y″ =f(y，y′ )

5. 理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理。了解解二階非齊次線性微分方程的常數(shù)變易法。

6. 掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程。

7. 會解自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。

8. 會解歐拉方程。

9. 了解微分方程的冪級數(shù)解法。

10.了解簡單的常系數(shù)線性微分方程組的解法。

11 會用微分方程解決一些簡單的應(yīng)用問題。