高數復習重點解析之——微分方程與無窮級數

• 2025考研復試標準班
• 26考研全科上岸規劃營「擇校▪規劃▪備考」
• 2026考研專業課復習資料「真題▪筆記▪講義▪題庫」

“世事洞明皆學問”。想把一件事做好，就需要用心揣摩其規律、總結其方法。考研復習亦不例外：除了結合考綱把基礎打牢，還需適當總結方法、關注重點。針對考生需求，數學教研室精心準備了2014年暑期考研數學復習重點解析。以下是高數微分方程與無窮級數部分，供參考。

一、微分方程

微分方程可視為一元函數微積分學的應用與推廣。該部分在考試中以大題與小題的形式交替出現，平均每年所占分值在8分左右。常考的題型包括各種類型微分方程的求解，線性微分方程解的性質，綜合應用。

對于該部分內容的復習，考生首先要能識別各種方程類型(一階：可分離變量的方程、齊次方程、一階線性方程、伯努利方程(數一、二)、全微分方程(數一);高階：線性方程、歐拉方程(數一)、高階可降階的方程(數一、二))，熟悉其求解步驟，并通過足量練習以求熟練掌握;在此基礎上還要具備數學建模的能力——能根據幾何或物理背景，建立微分方程。

另外，有幾點需提醒考生：

1. 解微分方程主要考查考生計算積分的能力，而實際應用則對考生的綜合能力提出較高要求，考生需結合練習把“解方程”和“列方程”的能力練好。

2. 非基本類型的方程一般都可通過變量替換化為基本類型。

3. 考生需弄清常見的物理量、幾何量與微分、積分的關系。

二、無窮級數

級數可視為微積分的綜合應用。該部分是數一、數三的必考內容，分值約占10%。常考的題型有：常數項級數的收斂性，冪級數的收斂半徑和收斂域，冪級數展開，冪級數求和，常數項級數求和以及傅里葉級數。其中冪級數是重點。

結合考試分析，建議考生從以下方面把握該部分內容：

1. 常數項級數

理解其收斂的相關概念并掌握各種收斂性判別法。

2. 冪級數

考試有三方面的要求：冪級數收斂域的計算，冪級數求和，冪級數展開。考生應通過一定量訓練使自己具備這三方面的能力——給定冪級數，準確計算其收斂半徑進而得到收斂域，能求其和函數，能將一個簡單函數在指定點展開成冪級數。

3.傅里葉級數

考試出現頻率和考試要求均較低，掌握傅里葉系數的求法，再了解狄利克雷定理的內容即可。

如何有效地復習考研數學?如果我們也視其為一道數學題，我想我們應該明白：我們要做微分運算——拿著放大鏡把每個考點弄清，也要做積分運算——持續地投入，積跬步以至千里;我們要有嚴謹的態度——一張數表里有一個數不同結果就變了，還要有靈活的思維——于點、線、面，數、表、空間，常量、變量、隨機變量間自由游弋;面對逝去的光陰不要悔恨——函數都可以不單調，人卻要讓過去決定未來嗎，面對不如意的現狀要接納——作為考生，我們無權更改微分方程的初始條件，我們能做的是接受它，把題漂亮地解出來。