2022數(shù)學(xué)一考研大綱解析：線性代數(shù)考試特點分析

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今天教育部考試中心發(fā)布了2022年考研數(shù)學(xué)大綱。今年的考研數(shù)學(xué)大綱基本與去年的大綱保持一致。在線性代數(shù)科目中，試題難易程度變動雖有區(qū)別但也趨于穩(wěn)定。命題的重點仍是基本概念、基本性質(zhì)和基本方法。下面就線性代數(shù)的基本考情和特點做一個分析。

考研線性代數(shù)一共包含六章的內(nèi)容：行列式、矩陣、向量、線性方程組、特征值與特征向量、二次型。考試題型分為選擇、填空和解答，基本的工具有行列式、矩陣、秩、特征值與特征向量，可能出選擇填空題的內(nèi)容主要是行列式的計算、矩陣的秩、相關(guān)無關(guān)、解的判定、矩陣的特征值特征向量、矩陣的合同與相似、正定二次型的判定。其中2021年考到了行列式、秩、向量組的解、線性表出、正負(fù)慣性指數(shù)的內(nèi)容。可能出解答題的內(nèi)容，往年有(1)向量與方程組結(jié)合的題目，比如把判斷相關(guān)無關(guān)及能否線性表出，轉(zhuǎn)化為齊次或齊次線性方程組有解無解的問題;(2)向量、特征值與特征向量或二次型的題目，這部分題目往往計算量比較大。其中2021年數(shù)學(xué)一大題考到了二次型部分的正交矩陣和正定矩陣的內(nèi)容。

考研線性代數(shù)的特點跟其他科目不同，具體如下：

(1)計算量比較大。考研線性代數(shù)的大題一般都有兩問，像矩陣方程的求解、線性方程組解的通解、相似和相似對角化、二次型等，這些計算量都非常大，并且前面錯一點后面就全錯了。有些雖然只是簡單的運算，但運算次數(shù)較多時，就很容易犯錯，這是考試中經(jīng)常失分的一個重要原因。

(2)公式定理多，概念抽象。考研線性代數(shù)內(nèi)容多，概念多，公式定理多，而且內(nèi)容比較抽象。比如關(guān)于矩陣，就有矩陣相似、矩陣等價、矩陣合同、正定矩陣、正交矩陣等。再有向量部分，相關(guān)無關(guān)的性質(zhì)就有7條等。這些瑣碎的知識點無形中增加了考生的記憶負(fù)擔(dān)，復(fù)習(xí)中要多次背誦記憶。再有秩的相關(guān)概念，線性代數(shù)中幾乎所有重要的定理都可以通過秩來表述，對秩的理解深度決定了整個線性代數(shù)的復(fù)習(xí)高度，但對于具體的矩陣求秩，可以通過初等行變換化階梯型，根據(jù)階梯型中非零行的個數(shù)來求;對于抽象型的，可以利用定義來求，也可以與向量結(jié)合，還可以由向量的相關(guān)性及向量組的秩來判定;還可以借助矩陣(方陣)非零特征值個數(shù)等方法來判定。所以學(xué)習(xí)秩，我們不僅要掌握本身的概念，也要把握好與其他知識點之間的聯(lián)系，就對學(xué)生的能力提出了更高的要求。

(3)靈活度高。考研線性代數(shù)經(jīng)常稍加改變條件就會導(dǎo)致整個解題方法全部發(fā)生變化，所以出題非常靈活多變。比如計算或討論兩個線性方程組公共解的問題，①如果兩個線性方程組都是已知的，則將這兩個線性方程組聯(lián)立求解;②如果兩個線性方程組其中一個已知，另一個線性方程組的通解是已知的，則可以將后一個線性方程組的通解直接代入前一個線性方程組，求出使得通解滿足另一個線性方程組的條件;③如果兩個線性方程組都只知道通解，則可以令兩邊的通解相等，求出使得兩邊通解相等時的條件。

(4)綜合性強，考研線性代數(shù)的知識點之間聯(lián)系是非常緊密的，因此很容易出綜合性大題，經(jīng)常一道題考幾個章節(jié)的內(nèi)容。比如2021數(shù)學(xué)一線性代數(shù)的解答題，就綜合了特征值特征向量、正交相似對角化、矩陣乘法運算及正定矩陣的相關(guān)內(nèi)容;

(5)推理證明

考研線性代數(shù)還會考察學(xué)生的邏輯推理能力，比如證明相關(guān)無關(guān)，但很多考生這方面的能力欠缺，不知道如何處理應(yīng)用題和證明題，往往失分較多。考生要有意識得鍛煉自己，總結(jié)證明題的出題規(guī)律，總結(jié)解題思路和解題方法，避免在考試中失分。

針對線性代數(shù)的考試特點，考生在備考時要注意一下幾點：

(1)抓主線

線性代數(shù)內(nèi)容看似雜亂，但實際“形散而神不散”。要想學(xué)好線性代數(shù)，一定要抓住主線——線性方程組，把各個章節(jié)的內(nèi)容串起來。

(2)重基礎(chǔ)

考研線性代數(shù)試題對基本概念、基本性質(zhì)和基本方法都有考查。對于基本概念，要區(qū)分哪些了解即可，比如矩陣、向量的定義等，哪些會直接考查，比如基礎(chǔ)解系、相關(guān)無關(guān)、矩陣相似、合同、二次型等。有些基本知識點是考生容易忽略的，像矩陣相似、矩陣等價及矩陣合同的判斷，往往會忽略本身的定義，混淆概念。對于基本性質(zhì)，要準(zhǔn)確記憶，注意區(qū)分行列式的運算性質(zhì)與矩陣運算性質(zhì)的不同，有無正負(fù)號等問題。對于基本方法要有整體的認(rèn)識，比如數(shù)值型和抽象型行列式計算方法，齊次非齊次線性方程組的求解等問題，要掌握基本求解方法，再加上一定的訓(xùn)練，就能實現(xiàn)穩(wěn)定得分。

(3)勤加練習(xí)，重視計算

線性代數(shù)選擇填空題一道題5分，分值增加，計算量也會適當(dāng)加大，但總體難度不大，主要是把握好解題思路。在解答題中，計算量往往非常繁瑣，一個是知識點綜合性比較強，一個是計算步驟多，所以同學(xué)們要認(rèn)真對待，在做題中訓(xùn)練自己的靈活解題能力和計算能力。

隨著2022年考研數(shù)學(xué)大綱的發(fā)布，備考逐漸進(jìn)入沖刺階段。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是沒有捷徑的，經(jīng)過暑假充電之后，大部分同學(xué)也能感受到線性代數(shù)的獨特之處了。9月份要繼續(xù)努力，不能松懈。復(fù)習(xí)過的知識點和重要題型，也要適當(dāng)會看，溫故而知新，為自己的未來拼搏一番。