2023考研數學（三）大綱原文：線性代數

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-線性代數-

一、行列式

【考試內容】

行列式的概念和基本性質　行列式按行(列)展開定理

【考試要求】

1.了解行列式的概念，掌握行列式的性質.

2.會應用行列式的性質和行列式按行(列)展開定理計算行列式.

二、矩陣

【考試內容】

矩陣的概念　矩陣的線性運算　矩陣的乘法　方陣的冪　方陣乘積的行列式　矩陣的轉置　逆矩陣的概念和性質　矩陣可逆的充分必要條件　伴隨矩陣　矩陣的初等變換　初等矩陣　矩陣的秩　矩陣的等價 分塊矩陣及其運算

【考試要求】

1.理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數量矩陣、對角矩陣、三角矩陣的定義及性質，了解對稱矩陣、反對稱矩陣及正交矩陣等的定義和性質.

2.掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置以及它們的運算規律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質.

3.理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣.

4.了解矩陣的初等變換和初等矩陣及矩陣等價的概念，理解矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的逆矩陣和秩的方法.

5.了解分塊矩陣的概念，掌握分塊矩陣的運算法則.

三、向量

【考試內容】

向量的概念　向量的線性組合與線性表示　向量組的線性相關與線性無關　向量組的極大線性無關組 等價向量組　向量組的秩　向量組的秩與矩陣的秩之間的關系 向量的內積 線性無關向量組的正交規范化方法

【考試要求】

1.了解向量的概念，掌握向量的加法和數乘運算法則.

2.理解向量的線性組合與線性表示、向量組線性相關、線性無關等概念，掌握向量組線性相關、線性無關的有關性質及判別法.

3.理解向量組的極大線性無關組的概念，會求向量組的極大線性無關組及秩.

4.理解向量組等價的概念，理解矩陣的秩與其行(列)向量組的秩之間的關系.

5.了解內積的概念.掌握線性無關向量組正交規范化的施密特(Schmidt)方法.

四、線性方程組

【考試內容】

線性方程組的克拉默(Cramer)法則　齊次線性方程組有非零解的充分必要條件 非齊次線性方程組有解的充分必要條件　線性方程組解的性質和解的結構 齊次線性方程組基礎解系和通解 非齊次線性方程組的通解

【考試要求】

1.會用克拉默法則解線性方程組.

2.掌握非齊次線性方程組有解和無解的判定方法.

3.理解齊次線性方程組的基礎解系的概念，掌握齊次線性方程組的基礎解系和通解的求法.

4.理解非齊次線性方程組解的結構及通解的概念.

5.掌握用初等行變換求解線性方程組的方法.

五、矩陣的特征值和特征向量

【考試內容】

矩陣的特征值和特征向量的概念、性質　相似矩陣的概念及性質　矩陣可相似對角化的充分必要條件及相似對角矩陣　實對稱矩陣的特征值和特征向量及相似對角矩陣

【考試要求】

1.理解矩陣的特征值、特征向量的概念，掌握矩陣特征值的性質，掌握求矩陣特征值和特征向量的方法.

2.理解矩陣相似的概念，掌握相似矩陣的性質，了解矩陣可相似對角化的充分必要條件，掌握將矩陣化為相似對角矩陣的方法.

3.掌握實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質.

六、二次型

【考試內容】

二次型及其矩陣表示 合同變換與合同矩陣　二次型的秩　慣性定理　二次型的標準形和規范形　用正交變換和配方法化二次型為標準形　二次型及其矩陣的正定性

【考試要求】

1.掌握二次型及其矩陣表示，了解二次型秩的概念，了解合同變換與合同矩陣的概念，了解二次型的標準形、規范形的概念以及慣性定理.

2.掌握用正交變換化二次型為標準形的方法，會用配方法化二次型為標準形.

3.理解正定二次型、正定矩陣的概念，并掌握其判別法.