2024年南方科技大學610數學分析考研考試大綱及參考書目

考試科目名稱：數學分析

一、考試要求

1）要求考生熟練掌握數學分析的基本概念、基本理論和基本方法。

2）要求考生具有嚴格的數學論證能力、舉反例能力和基本計算能力。

3）要求考生了解數學分析中的基本概念、理論、方法的實際來源和歷史背景，

清楚它們的幾何意義和物理意義，初步具備應用數學分析解決實際問題能力。

二、考試內容

1) 極限和連續性

a．數列極限與函數極限的概念，包括數列的上、下極限和函數的左、右極限。

b．極限的性質及四則運算性質，兩面夾原理。

c．區間套定理，確界存在定理，單調有界原理，Bolzano-Weierstrass 定理，Heine-Borel 有限覆蓋定理，Cauchy 收斂準則。

d．函數連續性的概念及相關的不連續點類型。函數連續的四則運算與復合運算性質,以及無窮小量比較。

e．閉區間上連續函數的性質：有界性定理、最值定理、介值定理和一致連續性定理。

2) 一元函數微分學

a．導數和微分的概念及其相互關系，導數的幾何意義和物理意義，函數可導性與連續性之間的關系。

b．函數導數與微分的運算法則，包括高階導數的運算法則，分段函數的導數。 c．Rolle 中值定理，Lagrange 中值定理和 Cauchy 中值定理以及 Taylor 公式。

d．函數的導數與單調性，極值，最值和凸凹性。

e．L ’Hop ital（洛必達）法則，不定式極限。

3) 一元函數積分學

a．不定積分的概念，不定積分的基本公式，換元積分法和分部積分法，有理函數、三角函數和簡單無理函數的積分。

b．定積分的概念，包括 Darboux 和，上、下積分及可積條件與可積函數類。

c．定積分的性質，微積分基本定理，定積分的換元積分法和分部積分法。

d．用定積分表達和計算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積，平面曲線的弧 長，旋轉體的體積與側面積，平行截面面積已知的立體體積，變力做功和物體的質量與質心）。

e．廣義積分的概念，廣義積分收斂的比較判別法，Abel 判別法和 Dirichlet 判別法，其中包括積分第二中值定理。

4) 無窮級數

a．數項級數斂散性的概念，數項級數的基本性質。

b．正項級數斂散的必要條件，比較判別法，Cauchy 判別法，D ’Alembert 判別法與積分判別法。

c．任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念及其相互關系，交錯級數的 Leibnitz判別法，絕對收斂級數的性質。

d．函數項級數一致收斂性的概念以及判斷一致收斂性的 Weierstrass 判別法，

Abel 判別法和 Dirichlet 判別法，一致收斂級數的性質。

e．冪級數及其收斂半徑的概念，包括 Cauchy-Hadamard 定理和 Abel 第一定理。

f．冪級數的性質，將函數展開為冪級數，Weierstrass 逼近定理。

g．Fourier 級數的概念與性質以及收斂性的判別法。

5) 多元函數微分學與積分學

a．多元函數極限與連續性，偏導數和全微分的概念，多元函數的偏導數與全微分。

b．隱函數存在定理，反函數定理。

c．多元函數極值和條件極值，Lagrange 乘子法，偏導數的幾何應用。

d．重積分，第一型、第二型曲線積分和曲面積分的概念與計算。

e．梯度，散度，旋度及其物理、幾何意義。

f．Gauss 公式、Green 公式和 Stokes 公式及其應用。

6) 含參變量積分

a．含參變量常義積分的概念與性質。

b．含參變量廣義積分的一致收斂性的概念及其判別法，一致收斂的含參變量廣義積分的性質。