2015年考研大綱解析：線性代數(shù)重點(diǎn)內(nèi)容

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• 2025考研專業(yè)課復(fù)習(xí)資料「真題▪筆記▪講義▪題庫(kù)」

　經(jīng)過(guò)暑假?gòu)?qiáng)化階段學(xué)習(xí)以后，從九月開(kāi)始進(jìn)入復(fù)習(xí)鞏固階段，也是提高階段的尾端，也就是說(shuō)，如果考生順利完成了提高階段的復(fù)習(xí)，將為沖刺階段提供足夠空間，反之則可能打亂整個(gè)復(fù)習(xí)進(jìn)程.這段時(shí)間，考生還是要堅(jiān)持兩條腿走路，即知識(shí)點(diǎn)總結(jié)和題型總結(jié),也就是要把書(shū)由厚讀到薄，把知識(shí)轉(zhuǎn)化成自己的東西，這樣才會(huì)越學(xué)越輕松。線性代數(shù)在考研數(shù)學(xué)中占有重要地位，必須予以高度重視。和高數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)相比，由于線性代數(shù)的學(xué)科特點(diǎn)，同學(xué)們更應(yīng)該要注重對(duì)知識(shí)點(diǎn)的總結(jié)。線性代數(shù)試題的特點(diǎn)比較突出，以計(jì)算題為主，證明題為輔，因此，同學(xué)們必須注重計(jì)算能力。線性代數(shù)在數(shù)學(xué)一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，學(xué)好線代也是必要的。下面，就將線代中重點(diǎn)內(nèi)容和典型題型做總結(jié)，希望對(duì)同學(xué)們后期的復(fù)習(xí)有所幫助。 一 行列式 行列式在整張?jiān)嚲碇兴�占比例不是很大，一般以填空題、選擇題為主，它是必考內(nèi)容，不只是考察行列式的概念、性質(zhì)、運(yùn)算，與行列式有關(guān)的考題也不少，例如方陣的行列式、逆矩陣、向量組的線性相關(guān)性、矩陣的秩、線性方程組、特征值、正定二次型與正定矩陣等問(wèn)題中都會(huì)涉及到行列式。如果試卷中沒(méi)有獨(dú)立的行列式的試題，必然會(huì)在其他章、節(jié)的試題中得以體現(xiàn)。所以要熟練掌握行列式常用的計(jì)算方法。 1 重點(diǎn)內(nèi)容:行列式計(jì)算 （1）降階法 這是計(jì)算行列式的主要方法，即用展開(kāi)定理將行列式降階。但在展開(kāi)之前往往先用行列式的性質(zhì)對(duì)行列式進(jìn)行恒等變形，化簡(jiǎn)之后再展開(kāi)。 （2）特殊的行列式 有三角行列式、范德蒙行列式、行和或列和相等的行列式、三線型行列式、爪型行列式等等，必須熟練掌握相應(yīng)的計(jì)算方法。 2 常見(jiàn)題型 （1）數(shù)字型行列式的計(jì)算 （2）抽象行列式的計(jì)算 （3）含參數(shù)的行列式的計(jì)算 （4）代數(shù)余子式的線性組合 二 矩陣 矩陣是線性代數(shù)的核心，是后續(xù)各章的基礎(chǔ)。矩陣的概念、運(yùn)算及理論貫穿線性代數(shù)的始終。這部分考點(diǎn)較多。涉及伴隨矩陣的定義、性質(zhì)、行列式、逆矩陣、秩及包含伴隨矩陣的矩陣方程是矩陣試題中的一類(lèi)常見(jiàn)試題。有些性質(zhì)得證明必須能自己推導(dǎo)。這幾年還經(jīng)常出現(xiàn)有關(guān)初等變換與初等矩陣的命題。 1 重點(diǎn)內(nèi)容： （1）矩陣的運(yùn)算 （2）伴隨矩陣 （3）可逆矩陣 （4）初等變換和初等矩陣 （5）矩陣的秩 2 常見(jiàn)題型： （1）計(jì)算方陣的冪 （2）與伴隨矩陣相關(guān)聯(lián)的命題 （3）有關(guān)初等變換的命題 （4）有關(guān)逆矩陣的計(jì)算與證明 （5）解矩陣方程（2013年和2014年連續(xù)出大題，要重視） （6）矩陣秩的計(jì)算和證明 三 向量 向量部分既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)，由于n維向量的抽象性及在邏輯推理上的較高要求，導(dǎo)致考生在學(xué)習(xí)理解上的困難�？忌�至少要梳理清楚知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系，最好能獨(dú)立證明相關(guān)結(jié)論。 1 重點(diǎn)內(nèi)容： （1）向量的線性表示 線性表示經(jīng)常和方程組結(jié)合考察，特點(diǎn)，表面問(wèn)一個(gè)向量可否由一組向量線性表示，其實(shí)本質(zhì)需要轉(zhuǎn)換成方程組的內(nèi)容來(lái)解決，經(jīng)常結(jié)合出大題。 （2）向量組的線性相關(guān)性 向量組的線性相關(guān)性是線性代數(shù)的重點(diǎn)，也是考研的重點(diǎn)。同學(xué)們一定要吃透向量組線性相關(guān)性的概念，熟練掌握有關(guān)性質(zhì)及判定法并能靈活應(yīng)用，還應(yīng)與線性表出、向量組的秩及線性方程組等相聯(lián)系，從各個(gè)側(cè)面加強(qiáng)對(duì)線性相關(guān)性的理解。 (3)向量組等價(jià) 要注意向量組等價(jià)與矩陣等價(jià)的區(qū)別。 （4）向量組的極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩 （5）向量空間（數(shù)一） 2 常見(jiàn)題型： （1）判定向量組的線性相關(guān)性 （2）向量組線性相關(guān)性的證明 （3）判定一個(gè)向量能否由一向量組線性表出 （4）向量組的秩和極大無(wú)關(guān)組的求法 （5）有關(guān)秩的證明 （6）有關(guān)矩陣與向量組等價(jià)的命題 （7）與向量空間有關(guān)的命題。 四 線性方程組 往年考題中，方程組出現(xiàn)的頻率較高，幾乎每年都有考題，也是線性代數(shù)部分考查的重點(diǎn)內(nèi)容。但也不會(huì)簡(jiǎn)單到僅考方程組的計(jì)算，還需靈活運(yùn)用，比如2014年的線性代數(shù)第一道解答題，解矩陣方程，而且系數(shù)矩陣是不可逆的，這是考研以來(lái)第一次這樣考，最后歸結(jié)為求三個(gè)非齊次線性方程組通解。 1 重點(diǎn)內(nèi)容： （1）齊次線性方程組有非零解和非齊次線性方程組有解的判定及解的結(jié)構(gòu) （2）齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求解與證明 （3）齊次（非齊次）線性方程組的求解（含對(duì)參數(shù)取值的討論）。 2 常見(jiàn)題型： （1）線性方程組的求解 （2）方程組解向量的判別及解的性質(zhì) （3）齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系 （4）非齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu) （5）兩個(gè)方程組的公共解、同解問(wèn)題 五 特征值與特征向量 特征值、特征向量是線性代數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容，是考研的重點(diǎn)之一，題多分值大。 1 重點(diǎn)內(nèi)容 （1）特征值和特征向量的概念及計(jì)算 （2）方陣的相似對(duì)角化 （3）實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化 2 常見(jiàn)題型 （1）數(shù)值矩陣的特征值和特征向量的求法 （2）抽象矩陣特征值和特征向量的求法 （3）矩陣相似的判定及逆問(wèn)題（2014出大題） （3）矩陣的相似對(duì)角化及逆問(wèn)題 （4）由特征值或特征向量反求A （5）有關(guān)實(shí)對(duì)稱矩陣的問(wèn)題 六 二次型 由于二次型與它的實(shí)對(duì)稱矩陣式一一對(duì)應(yīng)的，所以二次型的很多問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為它的實(shí)對(duì)稱矩陣的問(wèn)題，可見(jiàn)正確寫(xiě)出二次型的矩陣式處理二次型問(wèn)題的一個(gè)基礎(chǔ)。 1 重點(diǎn)內(nèi)容： （1）掌握二次型及其矩陣表示，了解二次型的秩和標(biāo)準(zhǔn)形等概念； （2）了解二次型的規(guī)范形和慣性定理； （3）掌握用正交變換并會(huì)用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形； （4）理解正定二次型和正定矩陣的概念及其判別方法。 2 常見(jiàn)題型 （1）二次型表成矩陣形式 （2）化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 （3）二次型正定性的判別。 同學(xué)們可以對(duì)照以上內(nèi)容和題型，多問(wèn)問(wèn)自己是否已熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)和對(duì)應(yīng)題型的解答。應(yīng)該說(shuō)考研數(shù)學(xué)最簡(jiǎn)單的部分就是線性代數(shù)，其計(jì)算基本都是加減乘除，小學(xué)生都會(huì)，但這部分的難點(diǎn)就在于概念非常多而且相互聯(lián)系，線代貫穿的主線就是求方程組的解，只要將方程組的解的概念和一般方法理解透徹，再回過(guò)頭看前面的內(nèi)容就非常簡(jiǎn)單。同時(shí)從考試內(nèi)容來(lái)看，考的內(nèi)容基本類(lèi)似，可以說(shuō)是最死的部分，這幾年出的考試題實(shí)際上就是以前考題的翻版，仔細(xì)研究一下以前考題對(duì)大家是最有好處的。