2016考研數(shù)學復習：線性方程組的形式

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線性代數(shù)的學習切入點：線性方程組。換言之，可以把線性代數(shù)看作是在研究線性方程組這一對象的過程中建立起來的學科。線性方程組的特點：方程是未知數(shù)的一次齊次式，方程組的數(shù)目s和未知數(shù)的個數(shù)n可以相同，也可以不同。

關于線性方程組的解，有三個問題值得討論：(1)方程組是否有解，即解的存在性問題;(2)方程組如何求解，有多少個解;(3)方程組有不止一個解時，這些不同的解之間有無內在聯(lián)系，即解的結構問題。

高斯消元法是最基礎和最直接的求解線性方程組的方法，其中涉及到三種對方程的同解變換：(1)把某個方程的k倍加到另外一個方程上去;(2)交換某兩個方程的位置;(3)用某個常數(shù)k乘以某個方程。我們把這三種變換統(tǒng)稱為線性方程組的初等變換。

任意的線性方程組都可以通過初等變換化為階梯形方程組。由具體例子可看出，化為階梯形方程組后，就可以依次解出每個未知數(shù)的值，從而求得方程組的解。

對方程組的解起決定性作用的是未知數(shù)的系數(shù)及其相對位置，所以可以把方程組的所有系數(shù)及常數(shù)項按原來的位置提取出來，形成一張表，通過研究這張表，就可以判斷解的情況。我們把這樣一張由若干個數(shù)按某種方式構成的表稱為矩陣。可以用矩陣的形式來表示一個線性方程組，這至少在書寫和表達上都更加簡潔。因此我們可以得到線性方程組的三種表達形式如下：