天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)2015考研考試大綱：數(shù)學(xué)分析

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考試的基本要求:

要求考生比較系統(tǒng)地理解數(shù)學(xué)分析的基本概念和基本理論，掌握數(shù)學(xué)分析的基本思想和方法。要求考生具有空間想象能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學(xué)的知識分析問題和解決問題的能力。

考試內(nèi)容和考試要求:

一、極限理論

考試內(nèi)容

數(shù)列極限和函數(shù)極限的概念和基本性質(zhì)柯西準(zhǔn)則 和語言 基本極限及極限的四則運算 迫斂性定理和單調(diào)有界原理 無窮小的性質(zhì)和應(yīng)用

考試要求

1．理解和掌握基本概念，如有界、上確界、下確界、收斂、發(fā)散、無窮小等，熟悉收斂數(shù)列和收斂函數(shù)的性質(zhì)，知道極限在分析類數(shù)學(xué)中的奠基性作用。

2．熟悉發(fā)散數(shù)列極限的的各種存在形式，準(zhǔn)確理解數(shù)列極限和函數(shù)極限存在時的幾何形狀，能夠理解和運用余數(shù)定理和重因式判定定理。

3．理解保號性引理，能夠運用艾森斯坦(Eisenstein)判別法判定整系數(shù)多項式在有理數(shù)域上的不可約性。

4．深刻掌握和語言。柯西準(zhǔn)則

5．理解等價無窮小，并能熟練用于求函數(shù)極限

二、連續(xù)函數(shù)

考試內(nèi)容

間斷點 連續(xù)函數(shù)的概念和基本性質(zhì) 利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)求極限 一致連續(xù) 介值定理

考試要求

1. 理解函數(shù)在一點連續(xù)的概念，掌握各類間斷點。理解左極限、右極限與極限及間斷點的分類與判斷的關(guān)系。

2．理解連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)，掌握其幾何直觀和嚴(yán)密敘述轉(zhuǎn)換的技巧。

3. 理解一致連續(xù)定理，熟練掌握通過二次極限法證明函數(shù)一致連續(xù)的方法。

4．熟練使用介值定理和最值定理

三、導(dǎo)數(shù)和微分

考試內(nèi)容

導(dǎo)數(shù)和微分地的定義 微分的幾何意義 微分的物理意義 高階導(dǎo)數(shù) 可微與連續(xù)的關(guān)系導(dǎo)數(shù)和微分的四則運算 初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計算 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)

考試要求

1. 理解在某一點左可導(dǎo)、又可導(dǎo)及可導(dǎo)的準(zhǔn)確定義，理解可導(dǎo)的充要條件。

2. 理解微分為曲線的局部直線近似的幾何意義，掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖像形狀的方法。

3. 理解可微函數(shù)連續(xù)的幾何解釋和掌握基于無窮小分析得證明。

4. 掌握導(dǎo)數(shù)和微分的四則運算和初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計算。

5. 掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)。

6. 掌握微分形式不變性。

四、微分中值定理及其應(yīng)用

考試內(nèi)容

三個中值定理 洛比達(dá)法則 泰勒公式 函數(shù)的幾何形狀（單調(diào)、極值、凹凸性）

考試要求

1. 利用羅爾中值定理和拉格朗日中值定理證明函數(shù)在某一點滿足一代數(shù)方程。

2. 熟練掌握洛比達(dá)法則，并清楚洛比達(dá)法則的適用范圍。

3. 熟練掌握兩類泰勒公式的計算和處理公式中的高階無窮小量。

4. 理解一、二階泰勒公式?jīng)Q定了函數(shù)曲線的基本性質(zhì)，掌握用一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)、極值和凹凸性。

五、實數(shù)的完備性

考試內(nèi)容

單調(diào)有界原理 聚點定理 有限覆蓋定理 區(qū)間套定理 有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)

考試要求

1. 理解六大原理并掌握相互等價的證明。

2．掌握用有限覆蓋定理和區(qū)間套定理處理有界閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

六、一元積分學(xué)

考試內(nèi)容

定積分的定義和幾何意義 不定積分和定積分的計算 微積分基本定理 變限積分 定積分思想的應(yīng)用 計算各類積分 廣義積分

考試要求

1.理解并掌握定積分的思想：分割、近似求和、取極限，進(jìn)而會利用定義解決問題，可積的必要條件及上和、下和的性質(zhì)。

2.積分與微分的互逆關(guān)系，原函數(shù)與不定積分的關(guān)系及其幾何意義。

3.熟練運用基本積分表中的公式，換元法、分部積分法并能解決求積問題，特殊類型的初等函數(shù)的積分，如有理函數(shù)的積分、三角函數(shù)有理式的積分及某些無理函數(shù)的積分。

4.理解掌握微積分學(xué)基本定理，熟練應(yīng)用牛頓－萊布尼茨公式，變動上限積分，會對變動上限積分求導(dǎo)。

5.理解反常積分的概念，掌握無窮積分與無界函數(shù)的反常積分的收斂判斷和計算方法

七、數(shù)項級數(shù)和函數(shù)項級數(shù)

考試內(nèi)容

數(shù)項級數(shù)的收斂性與發(fā)散性 絕對收斂 條件收斂 函數(shù)項級數(shù)的收斂性與發(fā)散性 級數(shù)收斂與發(fā)散的判斷準(zhǔn)則 一致收斂與交換極限

考試要求

1.掌握數(shù)項級數(shù)和函數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散性概念，掌握用極限理論分析級數(shù)。

2.理解數(shù)項級數(shù)收斂的必要條件，掌握萊布里茲尼法則判斷交錯級數(shù)的收斂性。

3.理解絕對收斂與條件收斂的區(qū)別，并掌握對絕對收斂級數(shù)的并、拆項操作。

4.掌握函數(shù)項級數(shù)的M-判別法、比值判別法和根值判別法。

5.掌握阿貝爾判別法和狄利克雷判別法。

6.掌握一致收斂的基本證明方法。

7.理解一致收斂在函數(shù)項級數(shù)繼承通項性質(zhì)（連續(xù)、可微、可積）中的作用。

八、冪級數(shù)和傅立葉級數(shù)

考試內(nèi)容

收斂半徑 阿貝爾定理 冪級數(shù)展開 傅立葉級數(shù)

考試要求

1.掌握求冪級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間。

2.掌握求函數(shù)的冪級數(shù)展開的技巧。

3.掌握求冪級數(shù)的和函數(shù)的技巧以及用來求數(shù)項級數(shù)的和。

4.掌握傅立葉級數(shù)、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)。

 九、多元函數(shù)微分學(xué)

考試內(nèi)容

多元函數(shù)的極限 二元連續(xù)函數(shù) 偏導(dǎo)數(shù)、可微和高階偏導(dǎo)數(shù)泰勒公式 拉格朗日乘子法 隱函數(shù)定理

考試要求

1.掌握二元函數(shù)極限、偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)��?shù)的求法以及檢驗極限不存在的方法。

2.理解偏導(dǎo)數(shù)和可微的幾何意義及其與函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)之間的關(guān)系，并會求出曲面的法線和切平面。

3.掌握求較復(fù)雜函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的方法，尤其是熟練掌握鏈法則。

4.理解二階泰勒公式并進(jìn)而理解極值定理，掌握拉格朗日乘子法。

5.理解隱函數(shù)定理，并掌握計算隱函數(shù)或參數(shù)表示的函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)。

十、重積分

考試內(nèi)容

重積分的定義及幾何意義 變量代換 極坐標(biāo)、球面坐標(biāo)和柱面坐標(biāo)

考試要求

1.掌握重積分的定義幾何意義并利用對稱性化簡。

2.理解并掌握化重積分為累次積分的計算技巧。。

3.理解變量代換的幾何意義并掌握積累最重要的技巧。

4.熟練掌握利用極坐標(biāo)、球面坐標(biāo)和柱面坐標(biāo)計算重積分。

十一、曲線積分和曲面積分

考試內(nèi)容

第一、二型曲線積分 第一、二型曲面積分 格林公式 奧-高公式

考試要求

1.理解第一、二類曲線積分和曲面積分的幾何和物理意義。

2.理解并掌握格林公式，利用此公式熟練轉(zhuǎn)化曲線積分與重積分的計算，并且深刻理解積分與路徑無關(guān)與微分方程和場論的聯(lián)系。

3.掌握奧-高公式并能在空中曲線積分、曲面積分和三重積分之間熟練轉(zhuǎn)換。

4.了解場論中的格林公式的證明。

十二、含參變量積分

考試內(nèi)容

含參變量積分的定義 含參變量積分與函數(shù)項級數(shù)的關(guān)系 廣義含參變量積分的一致收斂與交換極限

考試要求

1.掌握用函數(shù)項級數(shù)處理含參變量積分的方法。

2.理解廣義含參變量積分的一致收斂性，及積分號內(nèi)外求極限（導(dǎo)數(shù)、積分）。

3.熟練掌握一致收斂的證明方法，尤其是二次極限的方法。

主要參考書目:

《數(shù)學(xué)分析》，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 編， 2004年12月第3版，高等教育出版社出版