2015年寧波大學理學院數(shù)學分析考研初試大綱

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本《數(shù)學分析》考試大綱適用于寧波大學數(shù)學相關專業(yè)碩士研究生入學考試。

一、本考試科目簡介：

《數(shù)學分析》是數(shù)學專業(yè)最重要的基礎課之一，是數(shù)學專業(yè)的學生繼續(xù)學習后繼課程的基礎，它的理論方法和內容既涉及到幾百年來分析數(shù)學的嚴謹性和邏輯性，又與現(xiàn)代數(shù)學的各個領域有著密切的聯(lián)系。是從事數(shù)學理論及其應用工作的必備知識。本大綱制定的的依據是①根據教育部頒發(fā)《數(shù)學分析》教學大綱的基本要求。②根據我國一些國優(yōu)教材所講到基本內容和知識點。要求考生比較系統(tǒng)地理解數(shù)學分析的基本概念基本理論，掌握研究分析領域的基本方法，基本上掌握數(shù)學分析的論證方法，具備較熟練的演算技能和初步的應用能力及邏輯推理能力。

二、考試內容及具體要求：

第1章實數(shù)集與函數(shù)

（1）了解實數(shù)域及性質

（2）掌握幾種主要不等式及應用。

（3）熟練掌握領域，上確界，下確界，確界原理。

（4）牢固掌握函數(shù)復合、基本初等涵數(shù)、初等函數(shù)及某些特性（單調性、周期性、奇偶性、有界性等）。

第2章數(shù)列極限

（1）熟練掌握數(shù)列極限的定義。

（2）掌握收斂數(shù)列的若干性質（惟一性、保序性等）。

（3）掌握數(shù)列收斂的條件（單調有界原理、迫斂法則、柯西準則等）。

第3章函數(shù)極限

（1）熟練掌握使用“ε-δ”語言，敘述各類型函數(shù)極限。

（2）掌握函數(shù)極限的若干性質。

（3）掌握函數(shù)極限存在的條件（歸結原則，柯西準則，左、右極限、單調有界）。

（4）熟練應用兩個特殊極限求函數(shù)的極限。

（5）牢固掌握無窮�。ù螅┑亩�義、性質、階的比較。

第4章函數(shù)連續(xù)性

（1）熟練掌握在X0點連續(xù)的定義及其等價定義。

（2）掌握間斷點定以及分類。

（3）了解在區(qū)間上連續(xù)的定義，能使用左右極限的方法求極限。

（4）掌握在一點連續(xù)性質及在區(qū)間上連續(xù)性質。

（5）了解初等函數(shù)的連續(xù)性。

第5章導數(shù)與微分

（1）熟練掌握導數(shù)的定義，幾何、物理意義。

（2）牢固記住求導法則、求導公式。

（3）會求各類的導數(shù)（復合、參量、隱函數(shù)、冪指函數(shù)、高階導數(shù)（萊布尼茲公式））。

（4）掌握微分的概念，并會用微分進行近似計算。

（5）深刻理解連續(xù)、可導、可微之關系。

第6章微分中值定理、不定式極限

（1）牢固掌握微分中值定理及應用（包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理）。

（2）會用洛比達法則求極限，（掌握如何將其他類型的不定型轉化為0/0型）。

第1-6章的重點與難點

（1）重點：①基本概念：極限、連續(xù)、可導、可微。②基本定理：單調有界，柯西準則，歸結原則，微分中值定理。③基本計算：求極限的方法與類型。

（2）難點：應用微分中值定理，證明問題，連續(xù)函數(shù)性質應用。

第7章導數(shù)應用

（1）掌握單調與符號的關系，并用它證明f(x)單調，不等式、求單調區(qū)間、極值等。

（2）利用判定凹凸性及拐點。

（3）了解凸函數(shù)及性質

（4）會求曲線各種類型的漸近線性。

（5）了解方程近似解的牛頓切線法。

第8章極限與連續(xù)（續(xù)）

（1）掌握下列基本概念：區(qū)間套、柯西列、聚點、予列。

（2）了解刻劃實數(shù)完備性的幾個定理的等階性，并掌握各定理的條件與結論。

（3）學會用上述定理證明其他問題，如連續(xù)函數(shù)性質定理等。 

第9章不定積分

（1）掌握原函數(shù)與不定積分的概念。

（2）記住基本積分公式。

（3）熟練掌握換元法、分部積分法。

（4）了解有理函數(shù)積分步驟，并會求可化為有理函數(shù)的積分。

第10章定積分

（1）掌握定積分定義、性質。

（2）了解可積條件，可積類。

（3）深刻理解微積分基本定理，并會熟練應用。

（4）熟練計算定積分。

（5）掌握廣義積分收斂定義及判別法，會計算廣義積分。 

第11章定積分應用

（1)熟練計算各種平面圖形面積。

（2）會求旋轉體或已知截面面積的體積。

（3）會利用定積分求孤長、曲率、旋轉體的側面積。

（4）會用微元法求解某些物理問題（壓力、變力功、靜力矩、重心等）。 

第12章數(shù)項級數(shù)

（1）掌握數(shù)項級數(shù)斂散的定義、性質。

（2）熟練掌握正項級數(shù)的斂、散判別法。

（3）掌握條件、絕對收斂及萊布尼茲定理。

第7-12章的重點、難點

（1）重點：導數(shù)的應用，積分法則，微積分基本定理，數(shù)項級數(shù)斂散判別，廣義積分斂散判別。

（2）難點：實數(shù)完備性定理及應用；定積分的可積性及可積極類的討論，定積分及數(shù)項級數(shù)的理論證明，廣義積分及數(shù)項級數(shù)斂散的阿貝爾，狄利克雷判別法。 

第13章函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)

（1）了解函數(shù)列與函數(shù)項級之間的關系，掌握函數(shù)列及函數(shù)項級數(shù)的一致收斂定義。

（2）掌握函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別法。

（3）函數(shù)列的極限函數(shù)，函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)性質。 

第14章冪級數(shù)

（1）熟練冪級數(shù)收斂域，收斂半徑，及和函數(shù)的求法。

（2）了解冪級數(shù)的若干性質。

（3）了解求一般任意階可微函數(shù)的冪級數(shù)展式的方法。特別牢固記住六種基本初等函數(shù)的馬克勞林展式。

（4）會利用間接法求一些初等函數(shù)的冪級數(shù)展式。 

第15章付里葉級數(shù)

（1）熟記付里葉系數(shù)公式，并會求之。

（2）掌握以2π為周期函數(shù)的付里葉展式。

（3）理解掌握定義在（0,1）上的函數(shù)可以展成余弦級數(shù)，正弦級數(shù)，一般付里葉級數(shù)。

（4）了解收斂性定理，并掌握，貝塞爾不等式，勒貝格引理等。

第16章多元函數(shù)極限與選擇

（1）了解平面點集的若干概念。

（2）掌握二元函數(shù)二重極限定義、性質。

（3）掌握二次極限，并掌握二重極限與二次極限的關系。

（4）掌握二元連續(xù)函數(shù)的定義、性質。

（5）了解二元函數(shù)關于兩個變量全體連續(xù)與分別連續(xù)的關系。 

第17章多元函數(shù)微分學

（1）熟練掌握，可微，偏導的意義。

（2）掌握二元函數(shù)可微，偏導，連續(xù)以及偏導函數(shù)連續(xù)，概念之間關系。

（3）會計算各種類型的偏導，全微分。

（4）會求空間曲面的切平面，法線。空間曲線的法平面與切線。

（5）會求函數(shù)的方向導數(shù)與梯度。

（6）會求二元函數(shù)的泰勒展式及無條件極值。 

第18章隱函數(shù)定理及其應用

（1）掌握由一個方程確定的隱函數(shù)的條件，隱函數(shù)性質，隱函數(shù)的導數(shù)（偏導）公式。

（2）掌握由m個方程n個變元組成方程組，確定n-m個隱函數(shù)組的條件，并會求這n-m個隱函數(shù)對各個變元的偏導數(shù)。

（3）會求空間曲線的切線與法平面。

（4）會求空間曲面的切平面與法線。

（5）掌握條件極值的拉格朗日數(shù)乘法。 

第19章向量函數(shù)微分（一般了解）

第13-19章重點、難點

（1）重點：函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別，求冪級數(shù)的收斂域，和函數(shù)及其性質，冪級數(shù)展式，多元函數(shù)極限，連續(xù)、偏導、可微概念。計算部分：求各類偏導，全微分，求方向導數(shù)與梯度，求方程（組）確定隱函數(shù)（組）的偏導。應用部分；無條件極值，條件極值，曲線的切線與法平向，曲面的切平面與法線。

（2）難點：函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)一致收斂判別及性質，條件極值。 

第20章重積分

（1）了解二重積分，三重積分定義與性質。

（2）掌握二重積分的換序，變量代換的方法。

（3）了解三重積分的換序，會用球、柱、廣義球坐標進行代換計算三重積分。

（4）含參量正常積分的定義及性質。

（5）重積分應用：求曲面面積，轉動慣量，重心坐標等。 

第21章含參量非正常積分

（1）掌握含參量非正常積分一致收斂定義、性質。

（2）掌握含參量非正常積分一致收斂判別。

（3）會用積分號下求導、積分號下做積分方法計算一些定積分或廣義積分。

（4）了解歐拉積分，遞推公式及性質。 

第22章曲線積分與曲面積分

（1）熟練掌握第一、二型曲線、曲面積分的計算方法。

（2）了解兩種曲線積分，兩種曲面積分關系。

（3）熟練運用格林公式，高斯公式，斯托克斯公式計算。

（4）掌握積分與路徑無關的條件。

（5）了解場論初步知識，并會求梯度，散度，旋度。

第20-22章的重點和難點

（1）重點：二重積分換序，計算方法；曲線，曲面積分的計算。格林公式，高斯公式，斯托克斯公式的應用，積分與路徑無關性質的應用。

（2）難點：含參量廣義積分的一致收斂判別，三重積分的換序，重積分的應用。 

三、題型分布：

填空題，選擇題，解答題，計算題，證明題，應用題。