2016考研數(shù)學(xué)：如何理解可導(dǎo)與可微？

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在學(xué)習(xí)了函數(shù)、極限以及函數(shù)連續(xù)性的概念之后，我們開(kāi)始進(jìn)入一元函數(shù)微分學(xué)模塊的學(xué)習(xí)內(nèi)容。高等數(shù)學(xué)又叫微積分，可見(jiàn)微分學(xué)在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中所占的重要地位。這一大塊的內(nèi)容我們按照以下四部分進(jìn)行展開(kāi)學(xué)習(xí)，可導(dǎo)與可微，導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，以及中間穿插著學(xué)習(xí)中值定理。每接觸一個(gè)新的模塊，我們首先應(yīng)該理解概念。在這里我們需要理解什么是可導(dǎo)什么是可微。

首先通過(guò)導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)實(shí)際背景，包括幾何(切線斜率)和物理(速度或者擴(kuò)展為變化率)背景去理解導(dǎo)數(shù)的定義。大家會(huì)發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是極限。極限是高等數(shù)學(xué)中處理問(wèn)題的一個(gè)核心思想。那么有關(guān)極限的性質(zhì)就可以拿來(lái)刻畫(huà)導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，例如左右導(dǎo)數(shù)的定義，導(dǎo)數(shù)存在的充要條件是左右導(dǎo)數(shù)存在且相等。類似函數(shù)連續(xù)的定義，從某點(diǎn)連續(xù)擴(kuò)展到區(qū)間連續(xù)，我們也可以定義函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo)，并且有了左右導(dǎo)數(shù)，我們可以繼續(xù)定義函數(shù)在閉區(qū)間上可導(dǎo)。由此得出導(dǎo)函數(shù)的概念。這里需要大家注意，導(dǎo)函數(shù)也是一種函數(shù)，所有用來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)和工具同樣可以研究導(dǎo)函數(shù)，例如對(duì)導(dǎo)函數(shù)求極限、研究導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性等。導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)我們稱為高階導(dǎo)數(shù)。以上是關(guān)于對(duì)導(dǎo)數(shù)定義的理解。

現(xiàn)在我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：連續(xù)性和可導(dǎo)性。那么這兩者之間有什么關(guān)系呢?大家都知道這個(gè)定理：可導(dǎo)必連續(xù)。也就是題目中給出函數(shù)可導(dǎo)的條件，就隱含著告訴我們函數(shù)連續(xù)，關(guān)于這個(gè)知識(shí)點(diǎn)一般考察分段函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)，求參數(shù)取值，我們通常先討論函數(shù)連續(xù)性，再討論可導(dǎo)性。因?yàn)橥ㄟ^(guò)討論連續(xù)性一般可以求出其中一個(gè)參數(shù)取值，方便后續(xù)可導(dǎo)性的討論。比如下面這個(gè)例題