2016年考研數學大綱解析：極限

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新考研大綱如約而至。對考生而言，關注點應從對考綱的關注轉到如何更有效地復習上。筆者作為奮戰在教學一線的數學老師，考慮到這階段的同學已經歷了基礎階段和暑期的復習，已具備一定基礎，也對真題中的題型有一定了解，但未必形成知識體系，重難點也未必完全把握。所以，借助此次與廣大考生交流的機會，在此梳理了高等數學中的重難點，以期給正在全力攀登的考生搭一把手。

專題一極限

考試對極限的考察以計算為主。下面我們梳理一下極限計算的方法。

1.四則運算

此法可簡要概括為"若極限式中每一部分(和差式中的每一項或乘除式的每個因子)的極限存在，則和的極限等于極限的和，差的極限等于極限的差，乘積的極限等于極限的乘積，商的極限等于極限的商(分母不為零)"。

而在實際做題過程中，我們往往不容易觀察出每一部分的極限都存在，而是只觀察出一部分的極限存在，這時能否利用四則運算法則往下寫呢?我們需分成加和乘(減看成特殊的加，除看成特殊的乘)兩種運算討論：兩個函數相加，取極限，若能觀察出一項的極限存在，若另一項的極限存在，則由四則運算法則，和的極限等于極限的和，可以往下算;若另一項的極限不存在，可以證明(用反證法)整個極限不存在，也即"收斂+發散=發散"，而這種情況在真題中的極限計算題中還未出現過。綜上，兩個函數相加取極限，只要一項極限存在，就可以放心大膽地、一馬平川地往下算。萬一另一項的極限不存在呢?那回答整個極限不存在即可。下面討論乘的情況，兩個函數相乘取極限，若一個函數的極限存在，那得追問一句：極限值是否為0?若為0，則不能把該函數的極限算出(因為可能出現"0乘無窮"這種未定式);若極限值不為0，則后面的討論類似于加的情況。

2.洛必達法則

洛必達法則知名度很高。提起極限計算的方法，有同學別的方法想不起來，唯獨對洛必達念念不忘，可謂情有獨鐘。到了這個階段，對于此法，首先要注意條件。洛必達法則有三個條件：1)0分之0或無窮分之無窮型;2)分子、分母在一個范圍(若極限過程為x趨近于一點，則"局部"為該點的某去心鄰域)可導;3)分子、分母分別求導后的極限存在。具體函數僅判斷第1)條一般不會出問題，因為第2)、3)條在多數情況下成立。但對抽象函數的極限問題要小心，可不可導，連不連續對洛必達法則的運用都有影響。此外，泰勒公式以強大著稱，但有一種情況不得不請出不那么強大的洛必達法則幫忙，誰這么大牌?原來是含有變限積分的極限。一般得借助洛必達法則削去積分號。

3.等價無窮小替換

這種方法考生都比較熟悉。首先要記住常見的等價無窮小替換公式。接下來就是廣義化的思想方法(如x趨于0時，sinx等價于x，那么x的位置換成趨近于0的函數行不行?行!這就是廣義化的思想)。再者，等價無窮小替換常在洛必達法則之前用，這樣可以簡化洛必達法則中的求導運算。注意，易錯點是只有整個極限式的乘除因子才能替換。

4.泰勒公式

泰勒公式可以說是計算極限的最強大的武器。有同學戲稱"一把泰勒走天下，洛必達之類都是浮云"。確有幾分道理。該公式有兩種形式：帶皮亞諾余項的公式和帶拉格朗日余項的公式。前者用來算極限，后者用來證明。算極限首先應記清8個常用的泰勒公式(exp(x),sinx,cosx,arcsinx,tanx,arctanx,ln(1+x),(1+x)^a在0點展開的泰勒公式)，接下來就是帶入、化簡計算的功夫了。泰勒公式展示其威力的場合還有抽象函數。有一個信號會提示我們考慮泰勒公式，即題目中出現高階導數(二階及以上階數的導數稱為高階導數)。

5.冪指型函數的處理

冪指型函數是指底數位置和指數位置都有自變量的函數。此類函數在考試中可能讓我們求極限或求導數。處理該類函數問題有萬能的一招：指數對數恒等式轉化。

6.夾逼定理

首先要熟悉該定理的內容。有數列和函數兩種形式。若一個數列夾在兩外兩個數列之間(并不要求對所有的n成立，對充分大的n成立即可)，且在n趨于無窮時，兩頭的數列收斂到同一個數，則中間的數列被逼迫著極限也存在且極限值為同一個數。函數形式的夾逼定理類似理解。

接著應熟悉一個結論：無窮小乘以有界量=無窮小。該結論是夾逼定理的推論。可用其解題。

最后，一種長得非常有型的極限計算題--n項分母互不相同的分式的和的極限，可考慮夾逼定理，也可能考慮定積分定義。限于篇幅，本文在此點到為止，不詳述。

7.單調有界定理

該定理內容并不難：單調遞增且有上界的數列必有極限;單調遞減且有下界的數列必有極限。此處需注意，不是嚴格的單調也可以。

該定理數一數二同學尤其要注意，因為真題在此處考過多次大題。該定理的一種比較典型的應用場合是遞推式數列的極限問題。一般情況下，證明數列的極限存在就可考慮該定理。