2016考研數(shù)學(xué)大綱之中值定理專(zhuān)題解析

• 2025考研復(fù)試標(biāo)準(zhǔn)班
• 26考研全科上岸規(guī)劃營(yíng)「擇校▪規(guī)劃▪備考」
• 2026考研專(zhuān)業(yè)課復(fù)習(xí)資料「真題▪筆記▪講義▪題庫(kù)」

新考研大綱如約而至。對(duì)考生而言，關(guān)注點(diǎn)應(yīng)從對(duì)考綱的關(guān)注轉(zhuǎn)到如何更有效地復(fù)習(xí)上。考慮到這階段的同學(xué)已經(jīng)歷了基礎(chǔ)階段和暑期的復(fù)習(xí)，已具備一定基礎(chǔ)，也對(duì)真題中的題型有一定了解，但未必形成知識(shí)體系，重難點(diǎn)也未必完全把握。所以，借助此次與大家交流的機(jī)會(huì)，梳理了高等數(shù)學(xué)中的重難點(diǎn)，以期給正在全力攀登的你們搭一把手。

專(zhuān)題三中值定理

中值定理相關(guān)證明是考研數(shù)學(xué)中公認(rèn)的重難點(diǎn)。以往這部分常考證明題這種大題。而近兩年沒(méi)考。去年的高數(shù)證明題考的函數(shù)不等式的證明，今年出乎意料地考了一個(gè)用導(dǎo)數(shù)定義證明求導(dǎo)公式的證明題。盡管近兩年未考，但作為以前常考大題的考點(diǎn)，哪位同學(xué)又敢對(duì)這部分內(nèi)容掉以輕心呢？好，這部分內(nèi)容的重要性無(wú)需贅述，那我們應(yīng)該如何去把握呢？

首先應(yīng)該把這部分的定理內(nèi)容弄清楚。習(xí)大大說(shuō)：“打鐵還需自身硬!”我們要用這些定理去證明別的結(jié)論，先要自己把這些內(nèi)容弄透、弄熟。具體而言，這部分涉及的定理有：費(fèi)馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、零點(diǎn)存在定理、介值定理、最值定理和積分中值定理。前四個(gè)定理屬于微分中值定理，中間三個(gè)定理屬于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，最后一個(gè)為積分相關(guān)定理。值得一提的是，除了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)這幾個(gè)定理外，其余定理要求會(huì)證明。

接下來(lái)，應(yīng)總結(jié)真題中考過(guò)的此類(lèi)題目的處理思路。這項(xiàng)工作可以自己完成，但須花費(fèi)一定時(shí)間。把近三十年的真題收集起來(lái)，總結(jié)出解題思路，在此分享給大家。

中值相關(guān)證明是從條件出發(fā)還是從結(jié)論出發(fā)呢?大部分情況下應(yīng)從結(jié)論出發(fā)。看待證的式子是含一個(gè)中值還是兩個(gè)中值。若含一個(gè)中值，接下來(lái)再看，是否含導(dǎo)數(shù)。若含一個(gè)中值并且含導(dǎo)數(shù)，則優(yōu)先考慮羅爾定理，接下來(lái)的思路就是構(gòu)造輔助函數(shù)以及找兩個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值相等(注意這兩個(gè)點(diǎn)未必是區(qū)間的端點(diǎn)，也可能是區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn))。若含一個(gè)中值并且不含導(dǎo)數(shù)，那考慮閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，那塊有兩個(gè)常用的定理等著咱們——零點(diǎn)定理和介值定理。選哪個(gè)定理呢？小方法來(lái)啦！看待證的中值是位于閉區(qū)間還是開(kāi)區(qū)間，若是閉區(qū)間，則選介值定理，因?yàn)榻橹刀ɡ斫Y(jié)論就是中值位于閉區(qū)間；反之則選零點(diǎn)定理，因?yàn)榱泓c(diǎn)定理結(jié)論就是中值位于開(kāi)區(qū)間。

好，一個(gè)中值的思路說(shuō)完了，下面考慮兩個(gè)中值的情況。請(qǐng)問(wèn)，若待證式子含兩個(gè)中值，這是用了幾次定理的結(jié)果？?jī)纱危�為什么？因�(yàn)橛靡淮味ɡ淼玫降氖阶又缓�有一個(gè)中值，即便復(fù)雜如柯西中值定理也不例外。所以，要出現(xiàn)兩個(gè)中值，一定是用兩次定理的結(jié)果。當(dāng)然，用兩次定理，肯定得到兩個(gè)式子，最終的一個(gè)式子含兩個(gè)中值應(yīng)為前面得到的兩個(gè)式子合并后的結(jié)果。那么，用哪個(gè)定理？根據(jù)對(duì)真題的分析，兩個(gè)中值的情況一般考慮拉格朗日或柯西定理。具體是用的哪個(gè)定理？對(duì)哪個(gè)函數(shù)用的？這可以通過(guò)觀察待證的式子得到。

總之，此類(lèi)問(wèn)題的思路有點(diǎn)像犯罪現(xiàn)場(chǎng)調(diào)查：出現(xiàn)這種結(jié)果，是如何造成的?誰(shuí)是有嫌疑的函數(shù)，該函數(shù)是通過(guò)何種作案工具(定理)造成這種結(jié)果的。如果有這種體會(huì)，那么我們?cè)谧鲱}的同時(shí)，也過(guò)了一把當(dāng)福爾摩斯那樣的大偵探的癮。

當(dāng)然，弄熟基本定理，也弄透了上述處理真題的思路，是否能輕松搞定全部真題呢？未必。真題中有各種變形，有了大致思路，還需把各個(gè)細(xì)節(jié)想清楚：如確定考慮羅爾定理了，那輔助函數(shù)如何構(gòu)造，函數(shù)值相等的兩點(diǎn)如何找？如確定了用拉格朗日或柯西定理，那輔助函數(shù)如何構(gòu)造，具體選哪個(gè)定理？這些細(xì)節(jié)需要結(jié)合真題一步步想通，多練習(xí)才能掌握。