2023年山東理工大學856高等代數考研大綱及參考書目

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數學與統計學院碩士研究生招生考試考試大綱

科目代碼：856 科目名稱：高等代數

考試范圍：

一、多項式

熟練掌握帶余除法、轉輾相除法以及多項式的最大公因式求解;熟練掌握多項式整除、互素的性質及其推導;熟練掌握重因式的判定、余數定理的應用;熟練掌握求解有理系數多項式有理根的方法;熟練掌握特定整系數多項式不可約性的常用判定方法;了解數域上多項式的定義、運算及其運算規律;了解多項式的因式分解定理、標準分解式、復系數與實系數多項式的因式分解、多項式的根與性質。

二、行列式

熟練掌握有規律的高階行列式的計算;能夠熟練應用行列式的基本性質、代數余子式及其性質解決相關的計算問題;熟練掌握拉普拉斯(Laplace)定理在行列式計算中的應用;能夠運用克拉默法則求解特定的線性方程組;了解排列、行列式的定義、行列式的基本性質的證明。

三、線性方程組

熟練掌握具體向量組的秩和極大線性無關組的求解方法;熟練掌握含參數向量組線性關系的討論與求解的方法;熟練掌握含參數線性方程組解的討論與求解的方法;熟練掌握線性方程組解向量的性質、解的結構及其應用;熟練掌握與向量組線性相關性有關基本問題的證明方法;理解線性組合、線性相關、線性無關的定義與性質;了解矩陣、矩陣的秩、矩陣的秩與其子式的關系。

四、矩陣

熟練掌握低階、常見類型矩陣方程的求解;熟練掌握低階矩陣、常見的特殊類型矩陣和分塊矩陣可逆性的判定和求逆矩陣的方法;熟練掌握可逆矩陣、伴隨矩陣、有關矩陣秩的常見等式和不等式的應用和證明方法;了解矩陣的定義、運算、運算律;了解可逆矩陣、矩陣的逆矩陣、伴隨矩陣的定義;了解初等矩陣、初等變換、矩陣的等價標準形;了解分塊矩陣的意義及其運算性質。

五、二次型

熟練掌握含參數實二次型定性問題(正定、負定、半正定、不定)的解法;熟練掌握正定二次型(正定矩陣)有關基本性質和常見結論的證明方法;熟練掌握合同變換法化二次型為標準形的方法;了解二次型、二次型的矩陣、線性替換的概念;了解復數域與實數域上二次型的規范形的唯一性，正負慣性指數、符號差的定義。

六、線性空間

熟練掌握常見線性空間中子空間的判定、維數和基的求解方法;熟練掌握向量組生成子空間的和與交的基、維數的求解方法;熟練掌握子空間的維數公式及初步應用;熟練掌握兩個子空間直和的充要條件、判定和基本證明問題的解法;掌握與向量坐標、基變換和坐標變換有關的基本計算問題的解法;了解線性空間的定義和性質;了解線性空間的基、維數、向量坐標的定義與性質;了解子空間的交與和的定義、性質;了解線性空間同構定義和性質。

七、線性變換和矩陣相似理論

熟練掌握方陣的特征多項式、特征值、特征向量的計算方法;熟練掌握方陣對角化的判定條件和涉及具體方陣對角化的計算方法;熟練掌握運用矩陣的相似標準形或者哈密頓-凱萊(Hamilton-Cayley)定理計算矩陣的乘方(多項式)的常用方法;熟練掌握線性變換特征值、特征向量、特征子空間的求解;熟練掌握同一個線性變換在不同基下的矩陣之間的關系;熟練掌握線性變換在某一組基下的矩陣是對角形的充要條件;熟練掌握特殊類型線性變換在某一組基下的矩陣是對角形矩陣的證明方法;熟練掌握與線性變換的值域、核、秩、零度和不變子空間有關的基本證明問題的解法。了解線性變換的定義、性質、運算及運算律;了解線性變換的值域、核、秩、零度的概念等有關理論;了解空間分解為線性變換的不變子空間的直和與線性變換的矩陣之間的關系。

八、歐幾里得空間

熟練掌握用正交線性替換化實二次型為對角形的計算方法(以及對于實對稱矩陣求解正交矩陣，使得為對角形矩陣);熟練掌握實對稱矩陣的特征值、特征向量、特征子空間、合同相似標準形的有關理論及其基本應用，如矩陣分解、正定性的判定與證明等問題;熟練掌握歐式空間中向量的長度、夾角、以及將給定的線性無關的向量組化為標準正交向量組的計算方法(施密特(Schmidt)正交化方法);熟練掌握正交矩陣的基本性質和判定、證明方法;熟練掌握歐氏空間中正交變換的定義、性質、充要條件，以及常見類型變化正交性的判定和證明方法。了解歐式空間的定義、性質、度量矩陣等概念和理論;了解正交向量組、標準正交基的概念和性質;了解歐式空間子空間的正交性、正交補的概念及性質。

參考書目：

《高等代數》第四版，北京大學數學系編，高等教育出版社。